Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56454 / 15899
↖ ↑ ↗
← N 79.418762°
W 24.944458°		 ← 56.07 m → N 79.418762°
W 24.941712°		 →
↑
56.06 m
↓
↑
56.06 m
↓
N 79.418258°
W 24.944458°		 ← 56.08 m →
3 144 m²		 N 79.418258°
W 24.941712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430713653564453 y=0.121303558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430713653564453 × 217)
    floor (0.430713653564453 × 131072)
    floor (56454.5)     		tx = 56454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121303558349609 × 217)
    floor (0.121303558349609 × 131072)
    floor (15899.5)     		ty = 15899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56454 / 15899 ti = "17/56454/15899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56454/15899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56454 ÷ 217
    56454 ÷ 131072     		x = 0.430709838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15899 ÷ 217
    15899 ÷ 131072     		y = 0.121299743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430709838867188 × 2 - 1) × π
    -0.138580322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43536292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121299743652344 × 2 - 1) × π
    0.757400512695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.37944388644073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43536292} λ = -0.43536292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37944388644073))-π/2
    2×atan(10.7988957814068)-π/2
    2×1.47845760469044-π/2
    2.95691520938088-1.57079632675     		φ = 1.38611888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43536292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.944458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38611888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.418762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56454 KachelY 15899 -0.43536292 1.38611888 -24.944458 79.418762
    Oben rechts KachelX + 1 56455 KachelY 15899 -0.43531499 1.38611888 -24.941712 79.418762
    Unten links KachelX 56454 KachelY + 1 15900 -0.43536292 1.38611008 -24.944458 79.418258
    Unten rechts KachelX + 1 56455 KachelY + 1 15900 -0.43531499 1.38611008 -24.941712 79.418258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38611888-1.38611008) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dl = 56.0648000001975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38611888-1.38611008) × R
    8.80000000003101e-06 × 6371000     		dr = 56.0648000001975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43536292--0.43531499) × cos(1.38611888) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.183629474726535 × 6371000     		do = 56.0734691702977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43536292--0.43531499) × cos(1.38611008) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.183638125080107 × 6371000     		du = 56.0761106598246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38611888)-sin(1.38611008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183629474726535-0.183638125080107)×R²
    abs(-0.43531499--0.43536292)×8.65035357175414e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.65035357175414e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.65035357175414e-06×40589641000000     		ar = 3143.82188171996m²