Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56451 / 16243
↖ ↑ ↗
← N 79.243851°
W 24.952698°		 ← 56.99 m → N 79.243851°
W 24.949951°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.243338°
W 24.952698°		 ← 56.99 m →
3 250 m²		 N 79.243338°
W 24.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430690765380859 y=0.123928070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430690765380859 × 217)
    floor (0.430690765380859 × 131072)
    floor (56451.5)     		tx = 56451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123928070068359 × 217)
    floor (0.123928070068359 × 131072)
    floor (16243.5)     		ty = 16243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56451 / 16243 ti = "17/56451/16243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56451/16243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56451 ÷ 217
    56451 ÷ 131072     		x = 0.430686950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16243 ÷ 217
    16243 ÷ 131072     		y = 0.123924255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430686950683594 × 2 - 1) × π
    -0.138626098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43550673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123924255371094 × 2 - 1) × π
    0.752151489257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36295359297143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43550673} λ = -0.43550673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36295359297143))-π/2
    2×atan(10.6222790539218)-π/2
    2×1.47693121722989-π/2
    2.95386243445977-1.57079632675     		φ = 1.38306611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43550673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.952698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38306611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.243851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56451 KachelY 16243 -0.43550673 1.38306611 -24.952698 79.243851
    Oben rechts KachelX + 1 56452 KachelY 16243 -0.43545880 1.38306611 -24.949951 79.243851
    Unten links KachelX 56451 KachelY + 1 16244 -0.43550673 1.38305716 -24.952698 79.243338
    Unten rechts KachelX + 1 56452 KachelY + 1 16244 -0.43545880 1.38305716 -24.949951 79.243338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38306611-1.38305716) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38306611-1.38305716) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43550673--0.43545880) × cos(1.38306611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18662947367782 × 6371000     		do = 56.9895549401254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43550673--0.43545880) × cos(1.38305716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186638266422191 × 6371000     		du = 56.992239910396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38306611)-sin(1.38305716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18662947367782-0.186638266422191)×R²
    abs(-0.43545880--0.43550673)×8.79274437151634e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.79274437151634e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.79274437151634e-06×40589641000000     		ar = 3249.64661703749m²