Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5645 / 11914
↖ ↑ ↗
← S 63.015106°
W 55.964356°		 ← 1 108.65 m → S 63.015106°
W 55.942383°		 →
↑
1 108.49 m
↓
↑
1 108.49 m
↓
S 63.025074°
W 55.964356°		 ← 1 108.27 m →
1 228 719 m²		 S 63.025074°
W 55.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344573974609375 y=0.727203369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344573974609375 × 214)
    floor (0.344573974609375 × 16384)
    floor (5645.5)     		tx = 5645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727203369140625 × 214)
    floor (0.727203369140625 × 16384)
    floor (11914.5)     		ty = 11914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5645 / 11914 ti = "14/5645/11914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5645/11914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5645 ÷ 214
    5645 ÷ 16384     		x = 0.34454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11914 ÷ 214
    11914 ÷ 16384     		y = 0.7271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.3109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97676227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97676227} λ = -0.97676227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42736912308679))-π/2
    2×atan(0.239939343479125)-π/2
    2×0.235487626942743-π/2
    0.470975253885486-1.57079632675     		φ = -1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97676227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.964356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5645 KachelY 11914 -0.97676227 -1.09982107 -55.964356 -63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 5646 KachelY 11914 -0.97637877 -1.09982107 -55.942383 -63.015106
    Unten links KachelX 5645 KachelY + 1 11915 -0.97676227 -1.09999506 -55.964356 -63.025074
    Unten rechts KachelX + 1 5646 KachelY + 1 11915 -0.97637877 -1.09999506 -55.942383 -63.025074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09982107--1.09999506) × R
    0.000173989999999957 × 6371000     		dl = 1108.49028999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09982107--1.09999506) × R
    0.000173989999999957 × 6371000     		dr = 1108.49028999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97676227--0.97637877) × cos(-1.09982107) × R
    0.000383500000000092 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 1108.65124772988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97676227--0.97637877) × cos(-1.09999506) × R
    0.000383500000000092 × 0.453600523984401 × 6371000     		du = 1108.27240784009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09982107)-sin(-1.09999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.453600523984401)×R²
    abs(-0.97637877--0.97676227)×0.000155053912106629×R²
    0.000383500000000092×0.000155053912106629×6371000²
    0.000383500000000092×0.000155053912106629×40589641000000     		ar = 1228719.17603357m²