Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56448 / 43140
↖ ↑ ↗
← N 52.261434°
W 24.960937°		 ← 186.90 m → N 52.261434°
W 24.958191°		 →
↑
186.93 m
↓
↑
186.93 m
↓
N 52.259753°
W 24.960937°		 ← 186.91 m →
34 937 m²		 N 52.259753°
W 24.958191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430667877197266 y=0.329135894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430667877197266 × 217)
    floor (0.430667877197266 × 131072)
    floor (56448.5)     		tx = 56448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329135894775391 × 217)
    floor (0.329135894775391 × 131072)
    floor (43140.5)     		ty = 43140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56448 / 43140 ti = "17/56448/43140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56448/43140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56448 ÷ 217
    56448 ÷ 131072     		x = 0.4306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43140 ÷ 217
    43140 ÷ 131072     		y = 0.329132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329132080078125 × 2 - 1) × π
    0.34173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07359480389078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43565054} λ = -0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07359480389078))-π/2
    2×atan(2.92587857730232)-π/2
    2×1.24146520743045-π/2
    2.4829304148609-1.57079632675     		φ = 0.91213409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91213409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.261434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56448 KachelY 43140 -0.43565054 0.91213409 -24.960937 52.261434
    Oben rechts KachelX + 1 56449 KachelY 43140 -0.43560261 0.91213409 -24.958191 52.261434
    Unten links KachelX 56448 KachelY + 1 43141 -0.43565054 0.91210475 -24.960937 52.259753
    Unten rechts KachelX + 1 56449 KachelY + 1 43141 -0.43560261 0.91210475 -24.958191 52.259753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91213409-0.91210475) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dl = 186.925139999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91213409-0.91210475) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dr = 186.925139999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43565054--0.43560261) × cos(0.91213409) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.612059481128972 × 6371000     		do = 186.899725638188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43565054--0.43560261) × cos(0.91210475) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.612082683281672 × 6371000     		du = 186.906810694636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91213409)-sin(0.91210475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612059481128972-0.612082683281672)×R²
    abs(-0.43560261--0.43565054)×2.32021526997972e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32021526997972e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32021526997972e-05×40589641000000     		ar = 34936.9195709207m²