Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56446 / 43135
↖ ↑ ↗
← N 52.269838°
W 24.966431°		 ← 186.90 m → N 52.269838°
W 24.963684°		 →
↑
186.93 m
↓
↑
186.93 m
↓
N 52.268157°
W 24.966431°		 ← 186.91 m →
34 938 m²		 N 52.268157°
W 24.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430652618408203 y=0.329097747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430652618408203 × 217)
    floor (0.430652618408203 × 131072)
    floor (56446.5)     		tx = 56446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329097747802734 × 217)
    floor (0.329097747802734 × 131072)
    floor (43135.5)     		ty = 43135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56446 / 43135 ti = "17/56446/43135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56446/43135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56446 ÷ 217
    56446 ÷ 131072     		x = 0.430648803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43135 ÷ 217
    43135 ÷ 131072     		y = 0.329093933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430648803710938 × 2 - 1) × π
    -0.138702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43574642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329093933105469 × 2 - 1) × π
    0.341812133789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.07383448838888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43574642} λ = -0.43574642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07383448838888))-π/2
    2×atan(2.92657994909124)-π/2
    2×1.24153855106395-π/2
    2.4830771021279-1.57079632675     		φ = 0.91228078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43574642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.966431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91228078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.269838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56446 KachelY 43135 -0.43574642 0.91228078 -24.966431 52.269838
    Oben rechts KachelX + 1 56447 KachelY 43135 -0.43569848 0.91228078 -24.963684 52.269838
    Unten links KachelX 56446 KachelY + 1 43136 -0.43574642 0.91225144 -24.966431 52.268157
    Unten rechts KachelX + 1 56447 KachelY + 1 43136 -0.43569848 0.91225144 -24.963684 52.268157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91228078-0.91225144) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dl = 186.925139999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91228078-0.91225144) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dr = 186.925139999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43574642--0.43569848) × cos(0.91228078) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611943470371649 × 6371000     		do = 186.903287276523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43574642--0.43569848) × cos(0.91225144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611966675158383 × 6371000     		du = 186.910374615683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91228078)-sin(0.91225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611943470371649-0.611966675158383)×R²
    abs(-0.43569848--0.43574642)×2.3204786733344e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3204786733344e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3204786733344e-05×40589641000000     		ar = 34937.5855440208m²