Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56446 / 43133
↖ ↑ ↗
← N 52.273199°
W 24.966431°		 ← 186.89 m → N 52.273199°
W 24.963684°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 52.271519°
W 24.966431°		 ← 186.90 m →
34 923 m²		 N 52.271519°
W 24.963684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430652618408203 y=0.329082489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430652618408203 × 217)
    floor (0.430652618408203 × 131072)
    floor (56446.5)     		tx = 56446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329082489013672 × 217)
    floor (0.329082489013672 × 131072)
    floor (43133.5)     		ty = 43133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56446 / 43133 ti = "17/56446/43133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56446/43133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56446 ÷ 217
    56446 ÷ 131072     		x = 0.430648803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43133 ÷ 217
    43133 ÷ 131072     		y = 0.329078674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430648803710938 × 2 - 1) × π
    -0.138702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43574642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329078674316406 × 2 - 1) × π
    0.341842651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.07393036218812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43574642} λ = -0.43574642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07393036218812))-π/2
    2×atan(2.92686054488042)-π/2
    2×1.24156788462468-π/2
    2.48313576924935-1.57079632675     		φ = 0.91233944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43574642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.966431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91233944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.273199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56446 KachelY 43133 -0.43574642 0.91233944 -24.966431 52.273199
    Oben rechts KachelX + 1 56447 KachelY 43133 -0.43569848 0.91233944 -24.963684 52.273199
    Unten links KachelX 56446 KachelY + 1 43134 -0.43574642 0.91231011 -24.966431 52.271519
    Unten rechts KachelX + 1 56447 KachelY + 1 43134 -0.43569848 0.91231011 -24.963684 52.271519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91233944-0.91231011) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91233944-0.91231011) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43574642--0.43569848) × cos(0.91233944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611897075036603 × 6371000     		do = 186.889116946984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43574642--0.43569848) × cos(0.91231011) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611920272967328 × 6371000     		du = 186.896202192142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91233944)-sin(0.91231011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611897075036603-0.611920272967328)×R²
    abs(-0.43569848--0.43574642)×2.31979307253605e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31979307253605e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31979307253605e-05×40589641000000     		ar = 34923.0296262497m²