Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56445 / 43136
↖ ↑ ↗
← N 52.268157°
W 24.969177°		 ← 186.87 m → N 52.268157°
W 24.966431°		 →
↑
186.93 m
↓
↑
186.93 m
↓
N 52.266476°
W 24.969177°		 ← 186.88 m →
34 932 m²		 N 52.266476°
W 24.966431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430644989013672 y=0.329105377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430644989013672 × 217)
    floor (0.430644989013672 × 131072)
    floor (56445.5)     		tx = 56445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329105377197266 × 217)
    floor (0.329105377197266 × 131072)
    floor (43136.5)     		ty = 43136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56445 / 43136 ti = "17/56445/43136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56445/43136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56445 ÷ 217
    56445 ÷ 131072     		x = 0.430641174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43136 ÷ 217
    43136 ÷ 131072     		y = 0.3291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430641174316406 × 2 - 1) × π
    -0.138717651367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43579435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3291015625 × 2 - 1) × π
    0.341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43579435} λ = -0.43579435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07378655148926))-π/2
    2×atan(2.9264396612845)-π/2
    2×1.24152388344946-π/2
    2.48304776689892-1.57079632675     		φ = 0.91225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43579435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.969177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.268157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56445 KachelY 43136 -0.43579435 0.91225144 -24.969177 52.268157
    Oben rechts KachelX + 1 56446 KachelY 43136 -0.43574642 0.91225144 -24.966431 52.268157
    Unten links KachelX 56445 KachelY + 1 43137 -0.43579435 0.91222210 -24.969177 52.266476
    Unten rechts KachelX + 1 56446 KachelY + 1 43137 -0.43574642 0.91222210 -24.966431 52.266476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91225144-0.91222210) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dl = 186.925139999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91225144-0.91222210) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dr = 186.925139999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43579435--0.43574642) × cos(0.91225144) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611966675158383 × 6371000     		do = 186.871386218612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43579435--0.43574642) × cos(0.91222210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611989879418314 × 6371000     		du = 186.878471918529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91225144)-sin(0.91222210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611966675158383-0.611989879418314)×R²
    abs(-0.43574642--0.43579435)×2.32042599307425e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32042599307425e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32042599307425e-05×40589641000000     		ar = 34931.6222811324m²