Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56443 / 43068
↖ ↑ ↗
← N 52.382305°
W 24.974671°		 ← 186.43 m → N 52.382305°
W 24.971924°		 →
↑
186.42 m
↓
↑
186.42 m
↓
N 52.380629°
W 24.974671°		 ← 186.44 m →
34 754 m²		 N 52.380629°
W 24.971924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430629730224609 y=0.328586578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430629730224609 × 217)
    floor (0.430629730224609 × 131072)
    floor (56443.5)     		tx = 56443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328586578369141 × 217)
    floor (0.328586578369141 × 131072)
    floor (43068.5)     		ty = 43068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56443 / 43068 ti = "17/56443/43068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56443/43068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56443 ÷ 217
    56443 ÷ 131072     		x = 0.430625915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43068 ÷ 217
    43068 ÷ 131072     		y = 0.328582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430625915527344 × 2 - 1) × π
    -0.138748168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43589023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328582763671875 × 2 - 1) × π
    0.34283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07704626066342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43589023} λ = -0.43589023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07704626066342))-π/2
    2×atan(2.93599456814417)-π/2
    2×1.24252001489151-π/2
    2.48504002978302-1.57079632675     		φ = 0.91424370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43589023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.974671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91424370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.382305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56443 KachelY 43068 -0.43589023 0.91424370 -24.974671 52.382305
    Oben rechts KachelX + 1 56444 KachelY 43068 -0.43584229 0.91424370 -24.971924 52.382305
    Unten links KachelX 56443 KachelY + 1 43069 -0.43589023 0.91421444 -24.974671 52.380629
    Unten rechts KachelX + 1 56444 KachelY + 1 43069 -0.43584229 0.91421444 -24.971924 52.380629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91424370-0.91421444) × R
    2.92600000000309e-05 × 6371000     		dl = 186.415460000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91424370-0.91421444) × R
    2.92600000000309e-05 × 6371000     		dr = 186.415460000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43589023--0.43584229) × cos(0.91424370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610389816062808 × 6371000     		do = 186.428761259325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43589023--0.43584229) × cos(0.91421444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610412992681912 × 6371000     		du = 186.435839995365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91424370)-sin(0.91421444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610389816062808-0.610412992681912)×R²
    abs(-0.43584229--0.43589023)×2.31766191040039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31766191040039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31766191040039e-05×40589641000000     		ar = 34753.86308279m²