Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56441 / 87036
↖ ↑ ↗
← S 50.729502°
W 24.980163°		 ← 193.29 m → S 50.729502°
W 24.977417°		 →
↑
193.30 m
↓
↑
193.30 m
↓
S 50.731240°
W 24.980163°		 ← 193.28 m →
37 361 m²		 S 50.731240°
W 24.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430614471435547 y=0.664035797119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430614471435547 × 217)
    floor (0.430614471435547 × 131072)
    floor (56441.5)     		tx = 56441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664035797119141 × 217)
    floor (0.664035797119141 × 131072)
    floor (87036.5)     		ty = 87036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56441 / 87036 ti = "17/56441/87036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56441/87036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56441 ÷ 217
    56441 ÷ 131072     		x = 0.430610656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87036 ÷ 217
    87036 ÷ 131072     		y = 0.664031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430610656738281 × 2 - 1) × π
    -0.138778686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43598610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.32806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03064334183121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43598610} λ = -0.43598610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03064334183121))-π/2
    2×atan(0.356777356922116)-π/2
    2×0.342699748858705-π/2
    0.685399497717409-1.57079632675     		φ = -0.88539683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43598610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.980163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88539683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.729502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56441 KachelY 87036 -0.43598610 -0.88539683 -24.980163 -50.729502
    Oben rechts KachelX + 1 56442 KachelY 87036 -0.43593817 -0.88539683 -24.977417 -50.729502
    Unten links KachelX 56441 KachelY + 1 87037 -0.43598610 -0.88542717 -24.980163 -50.731240
    Unten rechts KachelX + 1 56442 KachelY + 1 87037 -0.43593817 -0.88542717 -24.977417 -50.731240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88539683--0.88542717) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dl = 193.296140000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88539683--0.88542717) × R
    3.03400000000176e-05 × 6371000     		dr = 193.296140000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43598610--0.43593817) × cos(-0.88539683) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632982338948803 × 6371000     		do = 193.288771975449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43598610--0.43593817) × cos(-0.88542717) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632958850453917 × 6371000     		du = 193.281599480969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88539683)-sin(-0.88542717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632982338948803-0.632958850453917)×R²
    abs(-0.43593817--0.43598610)×2.34884948850933e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34884948850933e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34884948850933e-05×40589641000000     		ar = 37361.2803231617m²