Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56441 / 43209
↖ ↑ ↗
← N 52.145288°
W 24.980163°		 ← 187.39 m → N 52.145288°
W 24.977417°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
N 52.143603°
W 24.980163°		 ← 187.40 m →
35 112 m²		 N 52.143603°
W 24.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430614471435547 y=0.329662322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430614471435547 × 217)
    floor (0.430614471435547 × 131072)
    floor (56441.5)     		tx = 56441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329662322998047 × 217)
    floor (0.329662322998047 × 131072)
    floor (43209.5)     		ty = 43209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56441 / 43209 ti = "17/56441/43209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56441/43209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56441 ÷ 217
    56441 ÷ 131072     		x = 0.430610656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43209 ÷ 217
    43209 ÷ 131072     		y = 0.329658508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430610656738281 × 2 - 1) × π
    -0.138778686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43598610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329658508300781 × 2 - 1) × π
    0.340682983398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.07028715781699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43598610} λ = -0.43598610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07028715781699))-π/2
    2×atan(2.91621679420196)-π/2
    2×1.24045164502837-π/2
    2.48090329005674-1.57079632675     		φ = 0.91010696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43598610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.980163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91010696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.145288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56441 KachelY 43209 -0.43598610 0.91010696 -24.980163 52.145288
    Oben rechts KachelX + 1 56442 KachelY 43209 -0.43593817 0.91010696 -24.977417 52.145288
    Unten links KachelX 56441 KachelY + 1 43210 -0.43598610 0.91007755 -24.980163 52.143603
    Unten rechts KachelX + 1 56442 KachelY + 1 43210 -0.43593817 0.91007755 -24.977417 52.143603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91010696-0.91007755) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91010696-0.91007755) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43598610--0.43593817) × cos(0.91010696) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613661300658214 × 6371000     		do = 187.38886050133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43598610--0.43593817) × cos(0.91007755) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613684521628326 × 6371000     		du = 187.395951303902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91010696)-sin(0.91007755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613661300658214-0.613684521628326)×R²
    abs(-0.43593817--0.43598610)×2.32209701116481e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32209701116481e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32209701116481e-05×40589641000000     		ar = 35111.9231020777m²