Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56441 / 43079
↖ ↑ ↗
← N 52.363860°
W 24.980163°		 ← 186.47 m → N 52.363860°
W 24.977417°		 →
↑
186.48 m
↓
↑
186.48 m
↓
N 52.362183°
W 24.980163°		 ← 186.47 m →
34 773 m²		 N 52.362183°
W 24.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430614471435547 y=0.328670501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430614471435547 × 217)
    floor (0.430614471435547 × 131072)
    floor (56441.5)     		tx = 56441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328670501708984 × 217)
    floor (0.328670501708984 × 131072)
    floor (43079.5)     		ty = 43079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56441 / 43079 ti = "17/56441/43079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56441/43079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56441 ÷ 217
    56441 ÷ 131072     		x = 0.430610656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43079 ÷ 217
    43079 ÷ 131072     		y = 0.328666687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430610656738281 × 2 - 1) × π
    -0.138778686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43598610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328666687011719 × 2 - 1) × π
    0.342666625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.0765189547676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43598610} λ = -0.43598610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0765189547676))-π/2
    2×atan(2.93444680900541)-π/2
    2×1.24235905020704-π/2
    2.48471810041408-1.57079632675     		φ = 0.91392177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43598610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.980163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91392177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.363860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56441 KachelY 43079 -0.43598610 0.91392177 -24.980163 52.363860
    Oben rechts KachelX + 1 56442 KachelY 43079 -0.43593817 0.91392177 -24.977417 52.363860
    Unten links KachelX 56441 KachelY + 1 43080 -0.43598610 0.91389250 -24.980163 52.362183
    Unten rechts KachelX + 1 56442 KachelY + 1 43080 -0.43593817 0.91389250 -24.977417 52.362183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91392177-0.91389250) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dl = 186.47916999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91392177-0.91389250) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dr = 186.47916999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43598610--0.43593817) × cos(0.91392177) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.610644785559804 × 6371000     		do = 186.467731327355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43598610--0.43593817) × cos(0.91389250) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.610667964346794 × 6371000     		du = 186.474809248803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91392177)-sin(0.91389250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610644785559804-0.610667964346794)×R²
    abs(-0.43593817--0.43598610)×2.31787869897637e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31787869897637e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31787869897637e-05×40589641000000     		ar = 34773.0077146857m²