Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56440 / 87256
↖ ↑ ↗
← S 51.110420°
W 24.982910°		 ← 191.75 m → S 51.110420°
W 24.980163°		 →
↑
191.70 m
↓
↑
191.70 m
↓
S 51.112144°
W 24.982910°		 ← 191.75 m →
36 759 m²		 S 51.112144°
W 24.980163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430606842041016 y=0.665714263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430606842041016 × 217)
    floor (0.430606842041016 × 131072)
    floor (56440.5)     		tx = 56440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665714263916016 × 217)
    floor (0.665714263916016 × 131072)
    floor (87256.5)     		ty = 87256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56440 / 87256 ti = "17/56440/87256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56440/87256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56440 ÷ 217
    56440 ÷ 131072     		x = 0.43060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87256 ÷ 217
    87256 ÷ 131072     		y = 0.66571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43060302734375 × 2 - 1) × π
    -0.1387939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43603404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.3314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04118945974762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43603404} λ = -0.43603404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04118945974762))-π/2
    2×atan(0.353034511779279)-π/2
    2×0.339375608651054-π/2
    0.678751217302109-1.57079632675     		φ = -0.89204511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43603404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89204511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.110420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56440 KachelY 87256 -0.43603404 -0.89204511 -24.982910 -51.110420
    Oben rechts KachelX + 1 56441 KachelY 87256 -0.43598610 -0.89204511 -24.980163 -51.110420
    Unten links KachelX 56440 KachelY + 1 87257 -0.43603404 -0.89207520 -24.982910 -51.112144
    Unten rechts KachelX + 1 56441 KachelY + 1 87257 -0.43598610 -0.89207520 -24.980163 -51.112144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89204511--0.89207520) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dl = 191.703389999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89204511--0.89207520) × R
    3.00899999999826e-05 × 6371000     		dr = 191.703389999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43603404--0.43598610) × cos(-0.89204511) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627821514230362 × 6371000     		do = 191.752850571825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43603404--0.43598610) × cos(-0.89207520) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.627798093173835 × 6371000     		du = 191.745697178304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89204511)-sin(-0.89207520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627821514230362-0.627798093173835)×R²
    abs(-0.43598610--0.43603404)×2.34210565267512e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34210565267512e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34210565267512e-05×40589641000000     		ar = 36758.9858346144m²