Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56440 / 87208
↖ ↑ ↗
← S 51.027577°
W 24.982910°		 ← 192.10 m → S 51.027577°
W 24.980163°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
S 51.029304°
W 24.982910°		 ← 192.09 m →
36 898 m²		 S 51.029304°
W 24.980163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430606842041016 y=0.665348052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430606842041016 × 217)
    floor (0.430606842041016 × 131072)
    floor (56440.5)     		tx = 56440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665348052978516 × 217)
    floor (0.665348052978516 × 131072)
    floor (87208.5)     		ty = 87208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56440 / 87208 ti = "17/56440/87208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56440/87208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56440 ÷ 217
    56440 ÷ 131072     		x = 0.43060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87208 ÷ 217
    87208 ÷ 131072     		y = 0.66534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43060302734375 × 2 - 1) × π
    -0.1387939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43603404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.3306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03888848856586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43603404} λ = -0.43603404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03888848856586))-π/2
    2×atan(0.353847769299295)-π/2
    2×0.340098555203085-π/2
    0.68019711040617-1.57079632675     		φ = -0.89059922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43603404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89059922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.027577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56440 KachelY 87208 -0.43603404 -0.89059922 -24.982910 -51.027577
    Oben rechts KachelX + 1 56441 KachelY 87208 -0.43598610 -0.89059922 -24.980163 -51.027577
    Unten links KachelX 56440 KachelY + 1 87209 -0.43603404 -0.89062937 -24.982910 -51.029304
    Unten rechts KachelX + 1 56441 KachelY + 1 87209 -0.43598610 -0.89062937 -24.980163 -51.029304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89059922--0.89062937) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dl = 192.085649999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89059922--0.89062937) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dr = 192.085649999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43603404--0.43598610) × cos(-0.89059922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628946276669221 × 6371000     		do = 192.096381972038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43603404--0.43598610) × cos(-0.89062937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628922836303119 × 6371000     		du = 192.089222680876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89059922)-sin(-0.89062937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628946276669221-0.628922836303119)×R²
    abs(-0.43598610--0.43603404)×2.34403661022453e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34403661022453e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34403661022453e-05×40589641000000     		ar = 36898.2707979724m²