Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56438 / 43071
↖ ↑ ↗
← N 52.377276°
W 24.988403°		 ← 186.41 m → N 52.377276°
W 24.985657°		 →
↑
186.48 m
↓
↑
186.48 m
↓
N 52.375599°
W 24.988403°		 ← 186.42 m →
34 762 m²		 N 52.375599°
W 24.985657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430591583251953 y=0.328609466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430591583251953 × 217)
    floor (0.430591583251953 × 131072)
    floor (56438.5)     		tx = 56438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328609466552734 × 217)
    floor (0.328609466552734 × 131072)
    floor (43071.5)     		ty = 43071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56438 / 43071 ti = "17/56438/43071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56438/43071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56438 ÷ 217
    56438 ÷ 131072     		x = 0.430587768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43071 ÷ 217
    43071 ÷ 131072     		y = 0.328605651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430587768554688 × 2 - 1) × π
    -0.138824462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43612991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328605651855469 × 2 - 1) × π
    0.342788696289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.07690244996456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43612991} λ = -0.43612991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07690244996456))-π/2
    2×atan(2.93557237107243)-π/2
    2×1.2424761220988-π/2
    2.4849522441976-1.57079632675     		φ = 0.91415592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43612991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91415592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.377276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56438 KachelY 43071 -0.43612991 0.91415592 -24.988403 52.377276
    Oben rechts KachelX + 1 56439 KachelY 43071 -0.43608198 0.91415592 -24.985657 52.377276
    Unten links KachelX 56438 KachelY + 1 43072 -0.43612991 0.91412665 -24.988403 52.375599
    Unten rechts KachelX + 1 56439 KachelY + 1 43072 -0.43608198 0.91412665 -24.985657 52.375599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91415592-0.91412665) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dl = 186.47916999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91415592-0.91412665) × R
    2.92699999999702e-05 × 6371000     		dr = 186.47916999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43612991--0.43608198) × cos(0.91415592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.610459344352289 × 6371000     		do = 186.411104623998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43612991--0.43608198) × cos(0.91412665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61048252732382 × 6371000     		du = 186.418183823246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91415592)-sin(0.91412665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610459344352289-0.61048252732382)×R²
    abs(-0.43608198--0.43612991)×2.31829715308107e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31829715308107e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31829715308107e-05×40589641000000     		ar = 34762.4481332427m²