Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56438 / 13946
↖ ↑ ↗
← N 80.359756°
W 24.988403°		 ← 51.14 m → N 80.359756°
W 24.985657°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
N 80.359295°
W 24.988403°		 ← 51.14 m →
2 616 m²		 N 80.359295°
W 24.985657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430591583251953 y=0.106403350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430591583251953 × 217)
    floor (0.430591583251953 × 131072)
    floor (56438.5)     		tx = 56438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106403350830078 × 217)
    floor (0.106403350830078 × 131072)
    floor (13946.5)     		ty = 13946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56438 / 13946 ti = "17/56438/13946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56438/13946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56438 ÷ 217
    56438 ÷ 131072     		x = 0.430587768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13946 ÷ 217
    13946 ÷ 131072     		y = 0.106399536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430587768554688 × 2 - 1) × π
    -0.138824462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43612991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106399536132812 × 2 - 1) × π
    0.787200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4730646513987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43612991} λ = -0.43612991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4730646513987))-π/2
    2×atan(11.8587341054167)-π/2
    2×1.48666932304332-π/2
    2.97333864608664-1.57079632675     		φ = 1.40254232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43612991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40254232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.359756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56438 KachelY 13946 -0.43612991 1.40254232 -24.988403 80.359756
    Oben rechts KachelX + 1 56439 KachelY 13946 -0.43608198 1.40254232 -24.985657 80.359756
    Unten links KachelX 56438 KachelY + 1 13947 -0.43612991 1.40253429 -24.988403 80.359295
    Unten rechts KachelX + 1 56439 KachelY + 1 13947 -0.43608198 1.40253429 -24.985657 80.359295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40254232-1.40253429) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dl = 51.159130000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40254232-1.40253429) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dr = 51.159130000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43612991--0.43608198) × cos(1.40254232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167461267759762 × 6371000     		do = 51.1363126695258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43612991--0.43608198) × cos(1.40253429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167469184359968 × 6371000     		du = 51.1387300986355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40254232)-sin(1.40253429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167461267759762-0.167469184359968)×R²
    abs(-0.43608198--0.43612991)×7.91660020635354e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.91660020635354e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.91660020635354e-06×40589641000000     		ar = 2616.15110443671m²