Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56437 / 43141
↖ ↑ ↗
← N 52.259753°
W 24.991150°		 ← 186.95 m → N 52.259753°
W 24.988403°		 →
↑
186.93 m
↓
↑
186.93 m
↓
N 52.258072°
W 24.991150°		 ← 186.95 m →
34 946 m²		 N 52.258072°
W 24.988403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430583953857422 y=0.329143524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430583953857422 × 217)
    floor (0.430583953857422 × 131072)
    floor (56437.5)     		tx = 56437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329143524169922 × 217)
    floor (0.329143524169922 × 131072)
    floor (43141.5)     		ty = 43141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56437 / 43141 ti = "17/56437/43141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56437/43141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56437 ÷ 217
    56437 ÷ 131072     		x = 0.430580139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43141 ÷ 217
    43141 ÷ 131072     		y = 0.329139709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430580139160156 × 2 - 1) × π
    -0.138839721679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43617785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329139709472656 × 2 - 1) × π
    0.341720581054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.07354686699116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43617785} λ = -0.43617785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07354686699116))-π/2
    2×atan(2.92573832311637)-π/2
    2×1.24145053703539-π/2
    2.48290107407079-1.57079632675     		φ = 0.91210475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43617785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.991150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91210475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.259753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56437 KachelY 43141 -0.43617785 0.91210475 -24.991150 52.259753
    Oben rechts KachelX + 1 56438 KachelY 43141 -0.43612991 0.91210475 -24.988403 52.259753
    Unten links KachelX 56437 KachelY + 1 43142 -0.43617785 0.91207541 -24.991150 52.258072
    Unten rechts KachelX + 1 56438 KachelY + 1 43142 -0.43612991 0.91207541 -24.988403 52.258072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91210475-0.91207541) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dl = 186.925139999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91210475-0.91207541) × R
    2.93399999999888e-05 × 6371000     		dr = 186.925139999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43617785--0.43612991) × cos(0.91210475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612082683281672 × 6371000     		do = 186.945806482368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43617785--0.43612991) × cos(0.91207541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612105884907469 × 6371000     		du = 186.952892856096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91210475)-sin(0.91207541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612082683281672-0.612105884907469)×R²
    abs(-0.43612991--0.43617785)×2.32016257971646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32016257971646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32016257971646e-05×40589641000000     		ar = 34945.5333623476m²