Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56437 / 29945
↖ ↑ ↗
← N 69.418002°
W 24.991150°		 ← 107.37 m → N 69.418002°
W 24.988403°		 →
↑
107.35 m
↓
↑
107.35 m
↓
N 69.417037°
W 24.991150°		 ← 107.38 m →
11 527 m²		 N 69.417037°
W 24.988403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430583953857422 y=0.228466033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430583953857422 × 217)
    floor (0.430583953857422 × 131072)
    floor (56437.5)     		tx = 56437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228466033935547 × 217)
    floor (0.228466033935547 × 131072)
    floor (29945.5)     		ty = 29945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56437 / 29945 ti = "17/56437/29945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56437/29945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56437 ÷ 217
    56437 ÷ 131072     		x = 0.430580139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29945 ÷ 217
    29945 ÷ 131072     		y = 0.228462219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430580139160156 × 2 - 1) × π
    -0.138839721679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43617785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228462219238281 × 2 - 1) × π
    0.543075561523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.70612219437742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43617785} λ = -0.43617785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70612219437742))-π/2
    2×atan(5.50756275657448)-π/2
    2×1.39118451351243-π/2
    2.78236902702486-1.57079632675     		φ = 1.21157270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43617785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.991150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21157270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.418002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56437 KachelY 29945 -0.43617785 1.21157270 -24.991150 69.418002
    Oben rechts KachelX + 1 56438 KachelY 29945 -0.43612991 1.21157270 -24.988403 69.418002
    Unten links KachelX 56437 KachelY + 1 29946 -0.43617785 1.21155585 -24.991150 69.417037
    Unten rechts KachelX + 1 56438 KachelY + 1 29946 -0.43612991 1.21155585 -24.988403 69.417037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21157270-1.21155585) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dl = 107.351349999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21157270-1.21155585) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dr = 107.351349999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43617785--0.43612991) × cos(1.21157270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351547521963855 × 6371000     		do = 107.371662040906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43617785--0.43612991) × cos(1.21155585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351563296379086 × 6371000     		du = 107.376479953351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21157270)-sin(1.21155585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351547521963855-0.351563296379086)×R²
    abs(-0.43612991--0.43617785)×1.57744152311512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57744152311512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57744152311512e-05×40589641000000     		ar = 11526.7514768839m²