Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56436 / 29942
↖ ↑ ↗
← N 69.420899°
W 24.993897°		 ← 107.36 m → N 69.420899°
W 24.991150°		 →
↑
107.35 m
↓
↑
107.35 m
↓
N 69.419933°
W 24.993897°		 ← 107.36 m →
11 525 m²		 N 69.419933°
W 24.991150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430576324462891 y=0.228443145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430576324462891 × 217)
    floor (0.430576324462891 × 131072)
    floor (56436.5)     		tx = 56436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228443145751953 × 217)
    floor (0.228443145751953 × 131072)
    floor (29942.5)     		ty = 29942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56436 / 29942 ti = "17/56436/29942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56436/29942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56436 ÷ 217
    56436 ÷ 131072     		x = 0.430572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29942 ÷ 217
    29942 ÷ 131072     		y = 0.228439331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228439331054688 × 2 - 1) × π
    0.543121337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70626600507628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43622579} λ = -0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70626600507628))-π/2
    2×atan(5.50835485997863)-π/2
    2×1.39120978995827-π/2
    2.78241957991655-1.57079632675     		φ = 1.21162325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21162325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.420899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56436 KachelY 29942 -0.43622579 1.21162325 -24.993897 69.420899
    Oben rechts KachelX + 1 56437 KachelY 29942 -0.43617785 1.21162325 -24.991150 69.420899
    Unten links KachelX 56436 KachelY + 1 29943 -0.43622579 1.21160640 -24.993897 69.419933
    Unten rechts KachelX + 1 56437 KachelY + 1 29943 -0.43617785 1.21160640 -24.991150 69.419933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21162325-1.21160640) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dl = 107.351349999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21162325-1.21160640) × R
    1.68499999999572e-05 × 6371000     		dr = 107.351349999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43622579--0.43617785) × cos(1.21162325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.351500198119305 × 6371000     		do = 107.357208120789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43622579--0.43617785) × cos(1.21160640) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35151597283396 × 6371000     		du = 107.362026124686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21162325)-sin(1.21160640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351500198119305-0.35151597283396)×R²
    abs(-0.43617785--0.43622579)×1.57747146544707e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57747146544707e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57747146544707e-05×40589641000000     		ar = 11525.1998337476m²