Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56435 / 87027
↖ ↑ ↗
← S 50.713852°
W 24.996643°		 ← 193.35 m → S 50.713852°
W 24.993897°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.715591°
W 24.996643°		 ← 193.35 m →
37 398 m²		 S 50.715591°
W 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430568695068359 y=0.663967132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430568695068359 × 217)
    floor (0.430568695068359 × 131072)
    floor (56435.5)     		tx = 56435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663967132568359 × 217)
    floor (0.663967132568359 × 131072)
    floor (87027.5)     		ty = 87027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56435 / 87027 ti = "17/56435/87027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56435/87027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56435 ÷ 217
    56435 ÷ 131072     		x = 0.430564880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87027 ÷ 217
    87027 ÷ 131072     		y = 0.663963317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430564880371094 × 2 - 1) × π
    -0.138870239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43627372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663963317871094 × 2 - 1) × π
    -0.327926635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.03021190973463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43627372} λ = -0.43627372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03021190973463))-π/2
    2×atan(0.356931315334137)-π/2
    2×0.342836316111429-π/2
    0.685672632222859-1.57079632675     		φ = -0.88512369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43627372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.996643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88512369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.713852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56435 KachelY 87027 -0.43627372 -0.88512369 -24.996643 -50.713852
    Oben rechts KachelX + 1 56436 KachelY 87027 -0.43622579 -0.88512369 -24.993897 -50.713852
    Unten links KachelX 56435 KachelY + 1 87028 -0.43627372 -0.88515405 -24.996643 -50.715591
    Unten rechts KachelX + 1 56436 KachelY + 1 87028 -0.43622579 -0.88515405 -24.993897 -50.715591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88512369--0.88515405) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88512369--0.88515405) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43627372--0.43622579) × cos(-0.88512369) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633193771099485 × 6371000     		do = 193.353335326188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43627372--0.43622579) × cos(-0.88515405) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633170272370695 × 6371000     		du = 193.346159706663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88512369)-sin(-0.88515405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633193771099485-0.633170272370695)×R²
    abs(-0.43622579--0.43627372)×2.34987287893729e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34987287893729e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34987287893729e-05×40589641000000     		ar = 37398.3964925416m²