Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56435 / 16539
↖ ↑ ↗
← N 79.091061°
W 24.996643°		 ← 57.79 m → N 79.091061°
W 24.993897°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.090541°
W 24.996643°		 ← 57.79 m →
3 339 m²		 N 79.090541°
W 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430568695068359 y=0.126186370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430568695068359 × 217)
    floor (0.430568695068359 × 131072)
    floor (56435.5)     		tx = 56435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126186370849609 × 217)
    floor (0.126186370849609 × 131072)
    floor (16539.5)     		ty = 16539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56435 / 16539 ti = "17/56435/16539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56435/16539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56435 ÷ 217
    56435 ÷ 131072     		x = 0.430564880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16539 ÷ 217
    16539 ÷ 131072     		y = 0.126182556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430564880371094 × 2 - 1) × π
    -0.138870239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43627372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126182556152344 × 2 - 1) × π
    0.747634887695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.34876427068389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43627372} λ = -0.43627372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34876427068389))-π/2
    2×atan(10.4726204013997)-π/2
    2×1.47559787407803-π/2
    2.95119574815606-1.57079632675     		φ = 1.38039942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43627372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.996643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38039942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.091061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56435 KachelY 16539 -0.43627372 1.38039942 -24.996643 79.091061
    Oben rechts KachelX + 1 56436 KachelY 16539 -0.43622579 1.38039942 -24.993897 79.091061
    Unten links KachelX 56435 KachelY + 1 16540 -0.43627372 1.38039035 -24.996643 79.090541
    Unten rechts KachelX + 1 56436 KachelY + 1 16540 -0.43622579 1.38039035 -24.993897 79.090541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38039942-1.38039035) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dl = 57.7849699996458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38039942-1.38039035) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dr = 57.7849699996458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43627372--0.43622579) × cos(1.38039942) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.189248644243859 × 6371000     		do = 57.7893501810211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43627372--0.43622579) × cos(1.38039035) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.189257550333904 × 6371000     		du = 57.7920697627566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38039942)-sin(1.38039035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189248644243859-0.189257550333904)×R²
    abs(-0.43622579--0.43627372)×8.90609004497445e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.90609004497445e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.90609004497445e-06×40589641000000     		ar = 3339.43444206896m²