Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56434 / 43081
↖ ↑ ↗
← N 52.360506°
W 24.999390°		 ← 186.52 m → N 52.360506°
W 24.996643°		 →
↑
186.54 m
↓
↑
186.54 m
↓
N 52.358829°
W 24.999390°		 ← 186.53 m →
34 795 m²		 N 52.358829°
W 24.996643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430561065673828 y=0.328685760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430561065673828 × 217)
    floor (0.430561065673828 × 131072)
    floor (56434.5)     		tx = 56434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328685760498047 × 217)
    floor (0.328685760498047 × 131072)
    floor (43081.5)     		ty = 43081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56434 / 43081 ti = "17/56434/43081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56434/43081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56434 ÷ 217
    56434 ÷ 131072     		x = 0.430557250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43081 ÷ 217
    43081 ÷ 131072     		y = 0.328681945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430557250976562 × 2 - 1) × π
    -0.138885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43632166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328681945800781 × 2 - 1) × π
    0.342636108398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.07642308096836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43632166} λ = -0.43632166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07642308096836))-π/2
    2×atan(2.93416548592714)-π/2
    2×1.24232977667815-π/2
    2.4846595533563-1.57079632675     		φ = 0.91386323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43632166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.999390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91386323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.360506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56434 KachelY 43081 -0.43632166 0.91386323 -24.999390 52.360506
    Oben rechts KachelX + 1 56435 KachelY 43081 -0.43627372 0.91386323 -24.996643 52.360506
    Unten links KachelX 56434 KachelY + 1 43082 -0.43632166 0.91383395 -24.999390 52.358829
    Unten rechts KachelX + 1 56435 KachelY + 1 43082 -0.43627372 0.91383395 -24.996643 52.358829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91386323-0.91383395) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dl = 186.54288000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91386323-0.91383395) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dr = 186.54288000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43632166--0.43627372) × cos(0.91386323) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.610691142610604 × 6371000     		do = 186.520794143383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43632166--0.43627372) × cos(0.91383395) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.610714328269726 × 6371000     		du = 186.527875640478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91386323)-sin(0.91383395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610691142610604-0.610714328269726)×R²
    abs(-0.43627372--0.43632166)×2.31856591212942e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31856591212942e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31856591212942e-05×40589641000000     		ar = 34794.7866232425m²