Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56432 / 29937
↖ ↑ ↗
← N 69.425725°
W 25.004883°		 ← 107.31 m → N 69.425725°
W 25.002136°		 →
↑
107.29 m
↓
↑
107.29 m
↓
N 69.424760°
W 25.004883°		 ← 107.32 m →
11 513 m²		 N 69.424760°
W 25.002136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430545806884766 y=0.228404998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430545806884766 × 217)
    floor (0.430545806884766 × 131072)
    floor (56432.5)     		tx = 56432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228404998779297 × 217)
    floor (0.228404998779297 × 131072)
    floor (29937.5)     		ty = 29937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56432 / 29937 ti = "17/56432/29937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56432/29937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56432 ÷ 217
    56432 ÷ 131072     		x = 0.4305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29937 ÷ 217
    29937 ÷ 131072     		y = 0.228401184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228401184082031 × 2 - 1) × π
    0.543197631835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.70650568957438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43641753} λ = -0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70650568957438))-π/2
    2×atan(5.50967528548504)-π/2
    2×1.39125190980635-π/2
    2.7825038196127-1.57079632675     		φ = 1.21170749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21170749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.425725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56432 KachelY 29937 -0.43641753 1.21170749 -25.004883 69.425725
    Oben rechts KachelX + 1 56433 KachelY 29937 -0.43636960 1.21170749 -25.002136 69.425725
    Unten links KachelX 56432 KachelY + 1 29938 -0.43641753 1.21169065 -25.004883 69.424760
    Unten rechts KachelX + 1 56433 KachelY + 1 29938 -0.43636960 1.21169065 -25.002136 69.424760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21170749-1.21169065) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dl = 107.287640000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21170749-1.21169065) × R
    1.6840000000018e-05 × 6371000     		dr = 107.287640000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43641753--0.43636960) × cos(1.21170749) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.351421332411314 × 6371000     		do = 107.310731450365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43641753--0.43636960) × cos(1.21169065) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.351437098262744 × 6371000     		du = 107.315545742762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21170749)-sin(1.21169065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351421332411314-0.351437098262744)×R²
    abs(-0.43636960--0.43641753)×1.57658514296499e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.57658514296499e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.57658514296499e-05×40589641000000     		ar = 11513.3733813448m²