Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5643 / 11915
↖ ↑ ↗
← S 63.025074°
W 56.008301°		 ← 1 108.27 m → S 63.025074°
W 55.986328°		 →
↑
1 108.04 m
↓
↑
1 108.04 m
↓
S 63.035039°
W 56.008301°		 ← 1 107.89 m →
1 227 805 m²		 S 63.035039°
W 55.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344451904296875 y=0.727264404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344451904296875 × 214)
    floor (0.344451904296875 × 16384)
    floor (5643.5)     		tx = 5643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727264404296875 × 214)
    floor (0.727264404296875 × 16384)
    floor (11915.5)     		ty = 11915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5643 / 11915 ti = "14/5643/11915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5643/11915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5643 ÷ 214
    5643 ÷ 16384     		x = 0.34442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11915 ÷ 214
    11915 ÷ 16384     		y = 0.72723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97752926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42775261828375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97752926} λ = -0.97752926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42775261828375))-π/2
    2×atan(0.239847345534851)-π/2
    2×0.235400635266548-π/2
    0.470801270533097-1.57079632675     		φ = -1.09999506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97752926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09999506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.025074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5643 KachelY 11915 -0.97752926 -1.09999506 -56.008301 -63.025074
    Oben rechts KachelX + 1 5644 KachelY 11915 -0.97714576 -1.09999506 -55.986328 -63.025074
    Unten links KachelX 5643 KachelY + 1 11916 -0.97752926 -1.10016898 -56.008301 -63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 5644 KachelY + 1 11916 -0.97714576 -1.10016898 -55.986328 -63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09999506--1.10016898) × R
    0.000173920000000161 × 6371000     		dl = 1108.04432000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09999506--1.10016898) × R
    0.000173920000000161 × 6371000     		dr = 1108.04432000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97752926--0.97714576) × cos(-1.09999506) × R
    0.000383499999999981 × 0.453600523984401 × 6371000     		do = 1108.27240783977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97752926--0.97714576) × cos(-1.10016898) × R
    0.000383499999999981 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 1107.89368683563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09999506)-sin(-1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453600523984401-0.453445518730545)×R²
    abs(-0.97714576--0.97752926)×0.000155005253856977×R²
    0.000383499999999981×0.000155005253856977×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155005253856977×40589641000000     		ar = 1227805.12978647m²