Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56429 / 16485
↖ ↑ ↗
← N 79.119094°
W 25.013122°		 ← 57.64 m → N 79.119094°
W 25.010376°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.118575°
W 25.013122°		 ← 57.65 m →
3 324 m²		 N 79.118575°
W 25.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430522918701172 y=0.125774383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430522918701172 × 217)
    floor (0.430522918701172 × 131072)
    floor (56429.5)     		tx = 56429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125774383544922 × 217)
    floor (0.125774383544922 × 131072)
    floor (16485.5)     		ty = 16485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56429 / 16485 ti = "17/56429/16485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56429/16485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56429 ÷ 217
    56429 ÷ 131072     		x = 0.430519104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16485 ÷ 217
    16485 ÷ 131072     		y = 0.125770568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430519104003906 × 2 - 1) × π
    -0.138961791992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43656134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125770568847656 × 2 - 1) × π
    0.748458862304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.35135286326337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43656134} λ = -0.43656134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35135286326337))-π/2
    2×atan(10.4997648666817)-π/2
    2×1.47584250684732-π/2
    2.95168501369463-1.57079632675     		φ = 1.38088869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43656134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.013122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38088869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.119094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56429 KachelY 16485 -0.43656134 1.38088869 -25.013122 79.119094
    Oben rechts KachelX + 1 56430 KachelY 16485 -0.43651341 1.38088869 -25.010376 79.119094
    Unten links KachelX 56429 KachelY + 1 16486 -0.43656134 1.38087964 -25.013122 79.118575
    Unten rechts KachelX + 1 56430 KachelY + 1 16486 -0.43651341 1.38087964 -25.010376 79.118575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38088869-1.38087964) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dl = 57.6575499990055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38088869-1.38087964) × R
    9.04999999984391e-06 × 6371000     		dr = 57.6575499990055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43656134--0.43651341) × cos(1.38088869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188768193112475 × 6371000     		do = 57.6426386482927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43656134--0.43651341) × cos(1.38087964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188777080400899 × 6371000     		du = 57.6453524887271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38088869)-sin(1.38087964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188768193112475-0.188777080400899)×R²
    abs(-0.43651341--0.43656134)×8.88728842404762e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.88728842404762e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.88728842404762e-06×40589641000000     		ar = 3323.61155655108m²