Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56427 / 43211
↖ ↑ ↗
← N 52.141917°
W 25.018616°		 ← 187.44 m → N 52.141917°
W 25.015869°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 52.140231°
W 25.018616°		 ← 187.45 m →
35 134 m²		 N 52.140231°
W 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430507659912109 y=0.329677581787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430507659912109 × 217)
    floor (0.430507659912109 × 131072)
    floor (56427.5)     		tx = 56427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329677581787109 × 217)
    floor (0.329677581787109 × 131072)
    floor (43211.5)     		ty = 43211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56427 / 43211 ti = "17/56427/43211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56427/43211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56427 ÷ 217
    56427 ÷ 131072     		x = 0.430503845214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43211 ÷ 217
    43211 ÷ 131072     		y = 0.329673767089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430503845214844 × 2 - 1) × π
    -0.138992309570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43665722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329673767089844 × 2 - 1) × π
    0.340652465820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.07019128401775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43665722} λ = -0.43665722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07019128401775))-π/2
    2×atan(2.91593721882068)-π/2
    2×1.24042222689489-π/2
    2.48084445378979-1.57079632675     		φ = 0.91004813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43665722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.018616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91004813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.141917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56427 KachelY 43211 -0.43665722 0.91004813 -25.018616 52.141917
    Oben rechts KachelX + 1 56428 KachelY 43211 -0.43660928 0.91004813 -25.015869 52.141917
    Unten links KachelX 56427 KachelY + 1 43212 -0.43665722 0.91001871 -25.018616 52.140231
    Unten rechts KachelX + 1 56428 KachelY + 1 43212 -0.43660928 0.91001871 -25.015869 52.140231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91004813-0.91001871) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91004813-0.91001871) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43665722--0.43660928) × cos(0.91004813) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613707749962965 × 6371000     		do = 187.442143676268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43665722--0.43660928) × cos(0.91001871) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613730977766418 × 6371000     		du = 187.449238045326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91004813)-sin(0.91001871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613707749962965-0.613730977766418)×R²
    abs(-0.43660928--0.43665722)×2.32278034526523e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32278034526523e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32278034526523e-05×40589641000000     		ar = 35133.8493287517m²