Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56427 / 29824
↖ ↑ ↗
← N 69.534518°
W 25.018616°		 ← 106.79 m → N 69.534518°
W 25.015869°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
N 69.533558°
W 25.018616°		 ← 106.79 m →
11 403 m²		 N 69.533558°
W 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430507659912109 y=0.227542877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430507659912109 × 217)
    floor (0.430507659912109 × 131072)
    floor (56427.5)     		tx = 56427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227542877197266 × 217)
    floor (0.227542877197266 × 131072)
    floor (29824.5)     		ty = 29824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56427 / 29824 ti = "17/56427/29824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56427/29824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56427 ÷ 217
    56427 ÷ 131072     		x = 0.430503845214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29824 ÷ 217
    29824 ÷ 131072     		y = 0.2275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430503845214844 × 2 - 1) × π
    -0.138992309570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43665722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43665722} λ = -0.43665722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71192255923145))-π/2
    2×atan(5.5396014582723)-π/2
    2×1.3922013016105-π/2
    2.78440260322101-1.57079632675     		φ = 1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43665722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.018616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56427 KachelY 29824 -0.43665722 1.21360628 -25.018616 69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 56428 KachelY 29824 -0.43660928 1.21360628 -25.015869 69.534518
    Unten links KachelX 56427 KachelY + 1 29825 -0.43665722 1.21358952 -25.018616 69.533558
    Unten rechts KachelX + 1 56428 KachelY + 1 29825 -0.43660928 1.21358952 -25.015869 69.533558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21360628-1.21358952) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21360628-1.21358952) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43665722--0.43660928) × cos(1.21360628) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 106.789978030045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43665722--0.43660928) × cos(1.21358952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349658721817478 × 6371000     		du = 106.794773858611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21360628)-sin(1.21358952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349658721817478)×R²
    abs(-0.43660928--0.43665722)×1.57021099999599e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57021099999599e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57021099999599e-05×40589641000000     		ar = 11403.0720472426m²