Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56426 / 13922
↖ ↑ ↗
← N 80.370788°
W 25.021363°		 ← 51.09 m → N 80.370788°
W 25.018616°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.370328°
W 25.021363°		 ← 51.09 m →
2 610 m²		 N 80.370328°
W 25.018616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430500030517578 y=0.106220245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430500030517578 × 217)
    floor (0.430500030517578 × 131072)
    floor (56426.5)     		tx = 56426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106220245361328 × 217)
    floor (0.106220245361328 × 131072)
    floor (13922.5)     		ty = 13922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56426 / 13922 ti = "17/56426/13922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56426/13922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56426 ÷ 217
    56426 ÷ 131072     		x = 0.430496215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13922 ÷ 217
    13922 ÷ 131072     		y = 0.106216430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430496215820312 × 2 - 1) × π
    -0.139007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43670516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106216430664062 × 2 - 1) × π
    0.787567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47421513698958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43670516} λ = -0.43670516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47421513698958))-π/2
    2×atan(11.8723852593533)-π/2
    2×1.48676559932044-π/2
    2.97353119864088-1.57079632675     		φ = 1.40273487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43670516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.021363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40273487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.370788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56426 KachelY 13922 -0.43670516 1.40273487 -25.021363 80.370788
    Oben rechts KachelX + 1 56427 KachelY 13922 -0.43665722 1.40273487 -25.018616 80.370788
    Unten links KachelX 56426 KachelY + 1 13923 -0.43670516 1.40272685 -25.021363 80.370328
    Unten rechts KachelX + 1 56427 KachelY + 1 13923 -0.43665722 1.40272685 -25.018616 80.370328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40273487-1.40272685) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40273487-1.40272685) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43670516--0.43665722) × cos(1.40273487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167271433721421 × 6371000     		do = 51.0890014251925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43670516--0.43665722) × cos(1.40272685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167279340721316 × 6371000     		du = 51.0914164264866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40273487)-sin(1.40272685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167271433721421-0.167279340721316)×R²
    abs(-0.43665722--0.43670516)×7.90699989483556e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90699989483556e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90699989483556e-06×40589641000000     		ar = 2610.47568299739m²