Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56424 / 87224
↖ ↑ ↗
← S 51.055207°
W 25.026856°		 ← 191.98 m → S 51.055207°
W 25.024109°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
S 51.056934°
W 25.026856°		 ← 191.97 m →
36 852 m²		 S 51.056934°
W 25.024109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430484771728516 y=0.665470123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430484771728516 × 217)
    floor (0.430484771728516 × 131072)
    floor (56424.5)     		tx = 56424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665470123291016 × 217)
    floor (0.665470123291016 × 131072)
    floor (87224.5)     		ty = 87224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56424 / 87224 ti = "17/56424/87224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56424/87224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56424 ÷ 217
    56424 ÷ 131072     		x = 0.43048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87224 ÷ 217
    87224 ÷ 131072     		y = 0.66546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43048095703125 × 2 - 1) × π
    -0.1390380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43680103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.3309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03965547895978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43680103} λ = -0.43680103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03965547895978))-π/2
    2×atan(0.353576475512496)-π/2
    2×0.339857429233448-π/2
    0.679714858466896-1.57079632675     		φ = -0.89108147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43680103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.026856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89108147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.055207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56424 KachelY 87224 -0.43680103 -0.89108147 -25.026856 -51.055207
    Oben rechts KachelX + 1 56425 KachelY 87224 -0.43675309 -0.89108147 -25.024109 -51.055207
    Unten links KachelX 56424 KachelY + 1 87225 -0.43680103 -0.89111160 -25.026856 -51.056934
    Unten rechts KachelX + 1 56425 KachelY + 1 87225 -0.43675309 -0.89111160 -25.024109 -51.056934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89108147--0.89111160) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89108147--0.89111160) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43680103--0.43675309) × cos(-0.89108147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628571278881721 × 6371000     		do = 191.98184799507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43680103--0.43675309) × cos(-0.89111160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628547844929157 × 6371000     		du = 191.974690662767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89108147)-sin(-0.89111160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628571278881721-0.628547844929157)×R²
    abs(-0.43675309--0.43680103)×2.34339525638783e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34339525638783e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34339525638783e-05×40589641000000     		ar = 36851.8087816656m²