Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56422 / 87192
↖ ↑ ↗
← S 50.999929°
W 25.032348°		 ← 192.17 m → S 50.999929°
W 25.029602°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
S 51.001657°
W 25.032348°		 ← 192.16 m →
36 925 m²		 S 51.001657°
W 25.029602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430469512939453 y=0.665225982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430469512939453 × 217)
    floor (0.430469512939453 × 131072)
    floor (56422.5)     		tx = 56422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665225982666016 × 217)
    floor (0.665225982666016 × 131072)
    floor (87192.5)     		ty = 87192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56422 / 87192 ti = "17/56422/87192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56422/87192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56422 ÷ 217
    56422 ÷ 131072     		x = 0.430465698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87192 ÷ 217
    87192 ÷ 131072     		y = 0.66522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430465698242188 × 2 - 1) × π
    -0.139068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43689690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.3304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03812149817194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43689690} λ = -0.43689690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03812149817194))-π/2
    2×atan(0.354119271245641)-π/2
    2×0.340339824997977-π/2
    0.680679649995954-1.57079632675     		φ = -0.89011668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43689690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.032348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89011668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.999929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56422 KachelY 87192 -0.43689690 -0.89011668 -25.032348 -50.999929
    Oben rechts KachelX + 1 56423 KachelY 87192 -0.43684897 -0.89011668 -25.029602 -50.999929
    Unten links KachelX 56422 KachelY + 1 87193 -0.43689690 -0.89014684 -25.032348 -51.001657
    Unten rechts KachelX + 1 56423 KachelY + 1 87193 -0.43684897 -0.89014684 -25.029602 -51.001657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89011668--0.89014684) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89011668--0.89014684) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43689690--0.43684897) × cos(-0.89011668) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629321353557924 × 6371000     		do = 192.17084604469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43689690--0.43684897) × cos(-0.89014684) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629297914573014 × 6371000     		du = 192.163688668677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89011668)-sin(-0.89014684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629321353557924-0.629297914573014)×R²
    abs(-0.43684897--0.43689690)×2.34389849099736e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34389849099736e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34389849099736e-05×40589641000000     		ar = 36924.8174382599m²