Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56422 / 29860
↖ ↑ ↗
← N 69.499918°
W 25.032348°		 ← 106.94 m → N 69.499918°
W 25.029602°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
N 69.498956°
W 25.032348°		 ← 106.95 m →
11 440 m²		 N 69.498956°
W 25.029602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430469512939453 y=0.227817535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430469512939453 × 217)
    floor (0.430469512939453 × 131072)
    floor (56422.5)     		tx = 56422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227817535400391 × 217)
    floor (0.227817535400391 × 131072)
    floor (29860.5)     		ty = 29860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56422 / 29860 ti = "17/56422/29860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56422/29860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56422 ÷ 217
    56422 ÷ 131072     		x = 0.430465698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29860 ÷ 217
    29860 ÷ 131072     		y = 0.227813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430465698242188 × 2 - 1) × π
    -0.139068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43689690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227813720703125 × 2 - 1) × π
    0.54437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71019683084512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43689690} λ = -0.43689690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71019683084512))-π/2
    2×atan(5.53004985489389)-π/2
    2×1.39189936316174-π/2
    2.78379872632348-1.57079632675     		φ = 1.21300240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43689690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.032348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21300240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.499918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56422 KachelY 29860 -0.43689690 1.21300240 -25.032348 69.499918
    Oben rechts KachelX + 1 56423 KachelY 29860 -0.43684897 1.21300240 -25.029602 69.499918
    Unten links KachelX 56422 KachelY + 1 29861 -0.43689690 1.21298561 -25.032348 69.498956
    Unten rechts KachelX + 1 56423 KachelY + 1 29861 -0.43684897 1.21298561 -25.029602 69.498956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21300240-1.21298561) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dl = 106.969089999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21300240-1.21298561) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dr = 106.969089999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43689690--0.43684897) × cos(1.21300240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.350208720827783 × 6371000     		do = 106.940445915617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43689690--0.43684897) × cos(1.21298561) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.350224447496068 × 6371000     		du = 106.945248242969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21300240)-sin(1.21298561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350208720827783-0.350224447496068)×R²
    abs(-0.43684897--0.43689690)×1.57266682848101e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.57266682848101e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.57266682848101e-05×40589641000000     		ar = 11439.5790343165m²