Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56421 / 13923
↖ ↑ ↗
← N 80.370328°
W 25.035095°		 ← 51.09 m → N 80.370328°
W 25.032348°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.369869°
W 25.035095°		 ← 51.09 m →
2 611 m²		 N 80.369869°
W 25.032348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430461883544922 y=0.106227874755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430461883544922 × 217)
    floor (0.430461883544922 × 131072)
    floor (56421.5)     		tx = 56421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106227874755859 × 217)
    floor (0.106227874755859 × 131072)
    floor (13923.5)     		ty = 13923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56421 / 13923 ti = "17/56421/13923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56421/13923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56421 ÷ 217
    56421 ÷ 131072     		x = 0.430458068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13923 ÷ 217
    13923 ÷ 131072     		y = 0.106224060058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430458068847656 × 2 - 1) × π
    -0.139083862304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43694484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106224060058594 × 2 - 1) × π
    0.787551879882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.47416720008996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43694484} λ = -0.43694484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47416720008996))-π/2
    2×atan(11.8718161476537)-π/2
    2×1.48676158998877-π/2
    2.97352317997755-1.57079632675     		φ = 1.40272685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43694484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.035095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40272685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.370328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56421 KachelY 13923 -0.43694484 1.40272685 -25.035095 80.370328
    Oben rechts KachelX + 1 56422 KachelY 13923 -0.43689690 1.40272685 -25.032348 80.370328
    Unten links KachelX 56421 KachelY + 1 13924 -0.43694484 1.40271883 -25.035095 80.369869
    Unten rechts KachelX + 1 56422 KachelY + 1 13924 -0.43689690 1.40271883 -25.032348 80.369869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40272685-1.40271883) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40272685-1.40271883) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43694484--0.43689690) × cos(1.40272685) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167279340721316 × 6371000     		do = 51.0914164265457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43694484--0.43689690) × cos(1.40271883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167287247710452 × 6371000     		du = 51.0938314245536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40272685)-sin(1.40271883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167279340721316-0.167287247710452)×R²
    abs(-0.43689690--0.43694484)×7.90698913558097e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.90698913558097e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.90698913558097e-06×40589641000000     		ar = 2610.59907833583m²