Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56420 / 29794
↖ ↑ ↗
← N 69.563308°
W 25.037842°		 ← 106.65 m → N 69.563308°
W 25.035095°		 →
↑
106.65 m
↓
↑
106.65 m
↓
N 69.562349°
W 25.037842°		 ← 106.65 m →
11 374 m²		 N 69.562349°
W 25.035095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430454254150391 y=0.227313995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430454254150391 × 217)
    floor (0.430454254150391 × 131072)
    floor (56420.5)     		tx = 56420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227313995361328 × 217)
    floor (0.227313995361328 × 131072)
    floor (29794.5)     		ty = 29794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56420 / 29794 ti = "17/56420/29794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56420/29794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56420 ÷ 217
    56420 ÷ 131072     		x = 0.430450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29794 ÷ 217
    29794 ÷ 131072     		y = 0.227310180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.13909912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43699278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227310180664062 × 2 - 1) × π
    0.545379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71336066622005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43699278} λ = -0.43699278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71336066622005))-π/2
    2×atan(5.54757372895862)-π/2
    2×1.39245254434496-π/2
    2.78490508868992-1.57079632675     		φ = 1.21410876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43699278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.037842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21410876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.563308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56420 KachelY 29794 -0.43699278 1.21410876 -25.037842 69.563308
    Oben rechts KachelX + 1 56421 KachelY 29794 -0.43694484 1.21410876 -25.035095 69.563308
    Unten links KachelX 56420 KachelY + 1 29795 -0.43699278 1.21409202 -25.037842 69.562349
    Unten rechts KachelX + 1 56421 KachelY + 1 29795 -0.43694484 1.21409202 -25.035095 69.562349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21410876-1.21409202) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dl = 106.650539999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21410876-1.21409202) × R
    1.67399999999596e-05 × 6371000     		dr = 106.650539999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43699278--0.43694484) × cos(1.21410876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349172210616614 × 6371000     		do = 106.646180815069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43699278--0.43694484) × cos(1.21409202) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349187896928184 × 6371000     		du = 106.650971818388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21410876)-sin(1.21409202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349172210616614-0.349187896928184)×R²
    abs(-0.43694484--0.43699278)×1.56863115704509e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56863115704509e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56863115704509e-05×40589641000000     		ar = 11374.1282547068m²