Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56419 / 30240
↖ ↑ ↗
← N 69.131271°
W 25.040588°		 ← 108.78 m → N 69.131271°
W 25.037842°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.130293°
W 25.040588°		 ← 108.78 m →
11 837 m²		 N 69.130293°
W 25.037842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430446624755859 y=0.230716705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430446624755859 × 217)
    floor (0.430446624755859 × 131072)
    floor (56419.5)     		tx = 56419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230716705322266 × 217)
    floor (0.230716705322266 × 131072)
    floor (30240.5)     		ty = 30240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56419 / 30240 ti = "17/56419/30240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56419/30240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56419 ÷ 217
    56419 ÷ 131072     		x = 0.430442810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30240 ÷ 217
    30240 ÷ 131072     		y = 0.230712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430442810058594 × 2 - 1) × π
    -0.139114379882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43704071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230712890625 × 2 - 1) × π
    0.53857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6919808089895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43704071} λ = -0.43704071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6919808089895))-π/2
    2×atan(5.43022630020256)-π/2
    2×1.38868231291203-π/2
    2.77736462582405-1.57079632675     		φ = 1.20656830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43704071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.040588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20656830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.131271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56419 KachelY 30240 -0.43704071 1.20656830 -25.040588 69.131271
    Oben rechts KachelX + 1 56420 KachelY 30240 -0.43699278 1.20656830 -25.037842 69.131271
    Unten links KachelX 56419 KachelY + 1 30241 -0.43704071 1.20655122 -25.040588 69.130293
    Unten rechts KachelX + 1 56420 KachelY + 1 30241 -0.43699278 1.20655122 -25.037842 69.130293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20656830-1.20655122) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dl = 108.816680000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20656830-1.20655122) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dr = 108.816680000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43704071--0.43699278) × cos(1.20656830) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356228069674021 × 6371000     		do = 108.778526498581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43704071--0.43699278) × cos(1.20655122) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.35624402915763 × 6371000     		du = 108.783399918894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20656830)-sin(1.20655122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356228069674021-0.35624402915763)×R²
    abs(-0.43699278--0.43704071)×1.59594836092736e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59594836092736e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59594836092736e-05×40589641000000     		ar = 11837.1832637764m²