Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56418 / 13925
↖ ↑ ↗
← N 80.369409°
W 25.043335°		 ← 51.10 m → N 80.369409°
W 25.040588°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.368950°
W 25.043335°		 ← 51.10 m →
2 611 m²		 N 80.368950°
W 25.040588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430438995361328 y=0.106243133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430438995361328 × 217)
    floor (0.430438995361328 × 131072)
    floor (56418.5)     		tx = 56418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106243133544922 × 217)
    floor (0.106243133544922 × 131072)
    floor (13925.5)     		ty = 13925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56418 / 13925 ti = "17/56418/13925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56418/13925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56418 ÷ 217
    56418 ÷ 131072     		x = 0.430435180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13925 ÷ 217
    13925 ÷ 131072     		y = 0.106239318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430435180664062 × 2 - 1) × π
    -0.139129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43708865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106239318847656 × 2 - 1) × π
    0.787521362304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.47407132629072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43708865} λ = -0.43708865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47407132629072))-π/2
    2×atan(11.8706780060956)-π/2
    2×1.48675357075697-π/2
    2.97350714151393-1.57079632675     		φ = 1.40271081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43708865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.043335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40271081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.369409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56418 KachelY 13925 -0.43708865 1.40271081 -25.043335 80.369409
    Oben rechts KachelX + 1 56419 KachelY 13925 -0.43704071 1.40271081 -25.040588 80.369409
    Unten links KachelX 56418 KachelY + 1 13926 -0.43708865 1.40270279 -25.043335 80.368950
    Unten rechts KachelX + 1 56419 KachelY + 1 13926 -0.43704071 1.40270279 -25.040588 80.368950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40271081-1.40270279) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40271081-1.40270279) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43708865--0.43704071) × cos(1.40271081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167295154688827 × 6371000     		do = 51.0962464192751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43708865--0.43704071) × cos(1.40270279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167303061656442 × 6371000     		du = 51.0986614107101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40271081)-sin(1.40270279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167295154688827-0.167303061656442)×R²
    abs(-0.43704071--0.43708865)×7.90696761510112e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.90696761510112e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.90696761510112e-06×40589641000000     		ar = 2610.84586879062m²