Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56417 / 29863
↖ ↑ ↗
← N 69.497032°
W 25.046082°		 ← 106.98 m → N 69.497032°
W 25.043335°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
N 69.496070°
W 25.046082°		 ← 106.98 m →
11 444 m²		 N 69.496070°
W 25.043335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430431365966797 y=0.227840423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430431365966797 × 217)
    floor (0.430431365966797 × 131072)
    floor (56417.5)     		tx = 56417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227840423583984 × 217)
    floor (0.227840423583984 × 131072)
    floor (29863.5)     		ty = 29863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56417 / 29863 ti = "17/56417/29863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56417/29863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56417 ÷ 217
    56417 ÷ 131072     		x = 0.430427551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29863 ÷ 217
    29863 ÷ 131072     		y = 0.227836608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430427551269531 × 2 - 1) × π
    -0.139144897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43713659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227836608886719 × 2 - 1) × π
    0.544326782226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.71005302014626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43713659} λ = -0.43713659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71005302014626))-π/2
    2×atan(5.5292546317417)-π/2
    2×1.39187417958515-π/2
    2.78374835917031-1.57079632675     		φ = 1.21295203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43713659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.046082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21295203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.497032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56417 KachelY 29863 -0.43713659 1.21295203 -25.046082 69.497032
    Oben rechts KachelX + 1 56418 KachelY 29863 -0.43708865 1.21295203 -25.043335 69.497032
    Unten links KachelX 56417 KachelY + 1 29864 -0.43713659 1.21293524 -25.046082 69.496070
    Unten rechts KachelX + 1 56418 KachelY + 1 29864 -0.43708865 1.21293524 -25.043335 69.496070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21295203-1.21293524) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dl = 106.969090000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21295203-1.21293524) × R
    1.67900000000998e-05 × 6371000     		dr = 106.969090000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43713659--0.43708865) × cos(1.21295203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350255900536444 × 6371000     		do = 106.97716761064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43713659--0.43708865) × cos(1.21293524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350271626908526 × 6371000     		du = 106.98197084947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21295203)-sin(1.21293524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350255900536444-0.350271626908526)×R²
    abs(-0.43708865--0.43713659)×1.57263720825807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57263720825807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57263720825807e-05×40589641000000     		ar = 11443.5071693128m²