Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56416 / 87202
↖ ↑ ↗
← S 51.017211°
W 25.048828°		 ← 192.10 m → S 51.017211°
W 25.046082°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
S 51.018938°
W 25.048828°		 ← 192.09 m →
36 899 m²		 S 51.018938°
W 25.046082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430423736572266 y=0.665302276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430423736572266 × 217)
    floor (0.430423736572266 × 131072)
    floor (56416.5)     		tx = 56416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665302276611328 × 217)
    floor (0.665302276611328 × 131072)
    floor (87202.5)     		ty = 87202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56416 / 87202 ti = "17/56416/87202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56416/87202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56416 ÷ 217
    56416 ÷ 131072     		x = 0.430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87202 ÷ 217
    87202 ÷ 131072     		y = 0.665298461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665298461914062 × 2 - 1) × π
    -0.330596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03860086716814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43718452} λ = -0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03860086716814))-π/2
    2×atan(0.353949558126902)-π/2
    2×0.340189014520056-π/2
    0.680378029040113-1.57079632675     		φ = -0.89041830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89041830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.017211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56416 KachelY 87202 -0.43718452 -0.89041830 -25.048828 -51.017211
    Oben rechts KachelX + 1 56417 KachelY 87202 -0.43713659 -0.89041830 -25.046082 -51.017211
    Unten links KachelX 56416 KachelY + 1 87203 -0.43718452 -0.89044845 -25.048828 -51.018938
    Unten rechts KachelX + 1 56417 KachelY + 1 87203 -0.43713659 -0.89044845 -25.046082 -51.018938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89041830--0.89044845) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dl = 192.085649999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89041830--0.89044845) × R
    3.0149999999951e-05 × 6371000     		dr = 192.085649999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43718452--0.43713659) × cos(-0.89041830) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629086922405536 × 6371000     		do = 192.099259672325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43718452--0.43713659) × cos(-0.89044845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629063485470491 × 6371000     		du = 192.092102922262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89041830)-sin(-0.89044845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629086922405536-0.629063485470491)×R²
    abs(-0.43713659--0.43718452)×2.34369350454733e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34369350454733e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34369350454733e-05×40589641000000     		ar = 36898.8238068167m²