Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56416 / 30241
↖ ↑ ↗
← N 69.130293°
W 25.048828°		 ← 108.78 m → N 69.130293°
W 25.046082°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.129314°
W 25.048828°		 ← 108.79 m →
11 838 m²		 N 69.129314°
W 25.046082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430423736572266 y=0.230724334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430423736572266 × 217)
    floor (0.430423736572266 × 131072)
    floor (56416.5)     		tx = 56416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230724334716797 × 217)
    floor (0.230724334716797 × 131072)
    floor (30241.5)     		ty = 30241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56416 / 30241 ti = "17/56416/30241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56416/30241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56416 ÷ 217
    56416 ÷ 131072     		x = 0.430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30241 ÷ 217
    30241 ÷ 131072     		y = 0.230720520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230720520019531 × 2 - 1) × π
    0.538558959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.69193287208988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43718452} λ = -0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69193287208988))-π/2
    2×atan(5.42996599822858)-π/2
    2×1.38867377448617-π/2
    2.77734754897234-1.57079632675     		φ = 1.20655122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20655122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.130293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56416 KachelY 30241 -0.43718452 1.20655122 -25.048828 69.130293
    Oben rechts KachelX + 1 56417 KachelY 30241 -0.43713659 1.20655122 -25.046082 69.130293
    Unten links KachelX 56416 KachelY + 1 30242 -0.43718452 1.20653414 -25.048828 69.129314
    Unten rechts KachelX + 1 56417 KachelY + 1 30242 -0.43713659 1.20653414 -25.046082 69.129314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20655122-1.20653414) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20655122-1.20653414) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43718452--0.43713659) × cos(1.20655122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35624402915763 × 6371000     		do = 108.78339991902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43718452--0.43713659) × cos(1.20653414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356259988537313 × 6371000     		du = 108.788273307597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20655122)-sin(1.20653414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35624402915763-0.356259988537313)×R²
    abs(-0.43713659--0.43718452)×1.59593796832946e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59593796832946e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59593796832946e-05×40589641000000     		ar = 11837.7135716427m²