Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56416 / 29534
↖ ↑ ↗
← N 69.811204°
W 25.048828°		 ← 105.38 m → N 69.811204°
W 25.046082°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 69.810257°
W 25.048828°		 ← 105.39 m →
11 105 m²		 N 69.810257°
W 25.046082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430423736572266 y=0.225330352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430423736572266 × 217)
    floor (0.430423736572266 × 131072)
    floor (56416.5)     		tx = 56416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225330352783203 × 217)
    floor (0.225330352783203 × 131072)
    floor (29534.5)     		ty = 29534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56416 / 29534 ti = "17/56416/29534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56416/29534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56416 ÷ 217
    56416 ÷ 131072     		x = 0.430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29534 ÷ 217
    29534 ÷ 131072     		y = 0.225326538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225326538085938 × 2 - 1) × π
    0.549346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72582426012126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43718452} λ = -0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72582426012126))-π/2
    2×atan(5.61714911406834)-π/2
    2×1.39461585049928-π/2
    2.78923170099856-1.57079632675     		φ = 1.21843537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21843537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.811204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56416 KachelY 29534 -0.43718452 1.21843537 -25.048828 69.811204
    Oben rechts KachelX + 1 56417 KachelY 29534 -0.43713659 1.21843537 -25.046082 69.811204
    Unten links KachelX 56416 KachelY + 1 29535 -0.43718452 1.21841883 -25.048828 69.810257
    Unten rechts KachelX + 1 56417 KachelY + 1 29535 -0.43713659 1.21841883 -25.046082 69.810257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21843537-1.21841883) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dl = 105.376339998998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21843537-1.21841883) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dr = 105.376339998998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43718452--0.43713659) × cos(1.21843537) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34511466810859 × 6371000     		do = 105.38491563648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43718452--0.43713659) × cos(1.21841883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345130191852526 × 6371000     		du = 105.389655998441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21843537)-sin(1.21841883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34511466810859-0.345130191852526)×R²
    abs(-0.43713659--0.43718452)×1.55237439354861e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55237439354861e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55237439354861e-05×40589641000000     		ar = 11105.3264620499m²