Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56414 / 87200
↖ ↑ ↗
← S 51.013755°
W 25.054321°		 ← 192.15 m → S 51.013755°
W 25.051575°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
S 51.015483°
W 25.054321°		 ← 192.15 m →
36 922 m²		 S 51.015483°
W 25.051575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430408477783203 y=0.665287017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430408477783203 × 217)
    floor (0.430408477783203 × 131072)
    floor (56414.5)     		tx = 56414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665287017822266 × 217)
    floor (0.665287017822266 × 131072)
    floor (87200.5)     		ty = 87200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56414 / 87200 ti = "17/56414/87200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56414/87200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56414 ÷ 217
    56414 ÷ 131072     		x = 0.430404663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87200 ÷ 217
    87200 ÷ 131072     		y = 0.665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430404663085938 × 2 - 1) × π
    -0.139190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43728040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.33056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0385049933689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43728040} λ = -0.43728040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0385049933689))-π/2
    2×atan(0.353983494242545)-π/2
    2×0.340219172120523-π/2
    0.680438344241046-1.57079632675     		φ = -0.89035798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43728040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.054321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89035798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.013755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56414 KachelY 87200 -0.43728040 -0.89035798 -25.054321 -51.013755
    Oben rechts KachelX + 1 56415 KachelY 87200 -0.43723246 -0.89035798 -25.051575 -51.013755
    Unten links KachelX 56414 KachelY + 1 87201 -0.43728040 -0.89038814 -25.054321 -51.015483
    Unten rechts KachelX + 1 56415 KachelY + 1 87201 -0.43723246 -0.89038814 -25.051575 -51.015483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89035798--0.89038814) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89035798--0.89038814) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43728040--0.43723246) × cos(-0.89035798) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629133810105984 × 6371000     		do = 192.153659510736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43728040--0.43723246) × cos(-0.89038814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629110366541888 × 6371000     		du = 192.146499242824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89035798)-sin(-0.89038814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629133810105984-0.629110366541888)×R²
    abs(-0.43723246--0.43728040)×2.34435640963371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34435640963371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34435640963371e-05×40589641000000     		ar = 36921.5147788788m²