Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56413 / 43078
↖ ↑ ↗
← N 52.365538°
W 25.057068°		 ← 186.50 m → N 52.365538°
W 25.054321°		 →
↑
186.54 m
↓
↑
186.54 m
↓
N 52.363860°
W 25.057068°		 ← 186.51 m →
34 791 m²		 N 52.363860°
W 25.054321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430400848388672 y=0.328662872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430400848388672 × 217)
    floor (0.430400848388672 × 131072)
    floor (56413.5)     		tx = 56413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328662872314453 × 217)
    floor (0.328662872314453 × 131072)
    floor (43078.5)     		ty = 43078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56413 / 43078 ti = "17/56413/43078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56413/43078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56413 ÷ 217
    56413 ÷ 131072     		x = 0.430397033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43078 ÷ 217
    43078 ÷ 131072     		y = 0.328659057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430397033691406 × 2 - 1) × π
    -0.139205932617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43732834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328659057617188 × 2 - 1) × π
    0.342681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07656689166722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43732834} λ = -0.43732834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07656689166722))-π/2
    2×atan(2.93458748065919)-π/2
    2×1.24237368613806-π/2
    2.48474737227612-1.57079632675     		φ = 0.91395105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43732834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.057068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91395105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.365538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56413 KachelY 43078 -0.43732834 0.91395105 -25.057068 52.365538
    Oben rechts KachelX + 1 56414 KachelY 43078 -0.43728040 0.91395105 -25.054321 52.365538
    Unten links KachelX 56413 KachelY + 1 43079 -0.43732834 0.91392177 -25.057068 52.363860
    Unten rechts KachelX + 1 56414 KachelY + 1 43079 -0.43728040 0.91392177 -25.054321 52.363860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91395105-0.91392177) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dl = 186.54288000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91395105-0.91392177) × R
    2.92800000000204e-05 × 6371000     		dr = 186.54288000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43732834--0.43728040) × cos(0.91395105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61062159833043 × 6371000     		do = 186.499553529932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43732834--0.43728040) × cos(0.91392177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610644785559804 × 6371000     		du = 186.506635506622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91395105)-sin(0.91392177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61062159833043-0.610644785559804)×R²
    abs(-0.43728040--0.43732834)×2.31872293743329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31872293743329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31872293743329e-05×40589641000000     		ar = 34790.8243828077m²