Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56411 / 43076
↖ ↑ ↗
← N 52.368892°
W 25.062561°		 ← 186.49 m → N 52.368892°
W 25.059814°		 →
↑
186.48 m
↓
↑
186.48 m
↓
N 52.367215°
W 25.062561°		 ← 186.49 m →
34 776 m²		 N 52.367215°
W 25.059814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430385589599609 y=0.328647613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430385589599609 × 217)
    floor (0.430385589599609 × 131072)
    floor (56411.5)     		tx = 56411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328647613525391 × 217)
    floor (0.328647613525391 × 131072)
    floor (43076.5)     		ty = 43076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56411 / 43076 ti = "17/56411/43076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56411/43076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56411 ÷ 217
    56411 ÷ 131072     		x = 0.430381774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43076 ÷ 217
    43076 ÷ 131072     		y = 0.328643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430381774902344 × 2 - 1) × π
    -0.139236450195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43742421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328643798828125 × 2 - 1) × π
    0.34271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07666276546646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43742421} λ = -0.43742421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07666276546646))-π/2
    2×atan(2.93486884419764)-π/2
    2×1.2424029563333-π/2
    2.4848059126666-1.57079632675     		φ = 0.91400959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43742421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.062561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91400959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.368892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56411 KachelY 43076 -0.43742421 0.91400959 -25.062561 52.368892
    Oben rechts KachelX + 1 56412 KachelY 43076 -0.43737627 0.91400959 -25.059814 52.368892
    Unten links KachelX 56411 KachelY + 1 43077 -0.43742421 0.91398032 -25.062561 52.367215
    Unten rechts KachelX + 1 56412 KachelY + 1 43077 -0.43737627 0.91398032 -25.059814 52.367215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91400959-0.91398032) × R
    2.92700000000812e-05 × 6371000     		dl = 186.479170000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91400959-0.91398032) × R
    2.92700000000812e-05 × 6371000     		dr = 186.479170000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43742421--0.43737627) × cos(0.91400959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610575238140375 × 6371000     		do = 186.485393934578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43742421--0.43737627) × cos(0.91398032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610598418496962 × 6371000     		du = 186.492473812142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91400959)-sin(0.91398032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610575238140375-0.610598418496962)×R²
    abs(-0.43737627--0.43742421)×2.31803565874378e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31803565874378e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31803565874378e-05×40589641000000     		ar = 34776.3016054043m²