Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56410 / 43226
↖ ↑ ↗
← N 52.116626°
W 25.065308°		 ← 187.55 m → N 52.116626°
W 25.062561°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
N 52.114939°
W 25.065308°		 ← 187.56 m →
35 166 m²		 N 52.114939°
W 25.062561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430377960205078 y=0.329792022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430377960205078 × 217)
    floor (0.430377960205078 × 131072)
    floor (56410.5)     		tx = 56410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329792022705078 × 217)
    floor (0.329792022705078 × 131072)
    floor (43226.5)     		ty = 43226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56410 / 43226 ti = "17/56410/43226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56410/43226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56410 ÷ 217
    56410 ÷ 131072     		x = 0.430374145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43226 ÷ 217
    43226 ÷ 131072     		y = 0.329788208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430374145507812 × 2 - 1) × π
    -0.139251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43747215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329788208007812 × 2 - 1) × π
    0.340423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06947223052345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43747215} λ = -0.43747215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06947223052345))-π/2
    2×atan(2.91384125761874)-π/2
    2×1.24020151990657-π/2
    2.48040303981314-1.57079632675     		φ = 0.90960671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43747215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.065308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90960671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.116626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56410 KachelY 43226 -0.43747215 0.90960671 -25.065308 52.116626
    Oben rechts KachelX + 1 56411 KachelY 43226 -0.43742421 0.90960671 -25.062561 52.116626
    Unten links KachelX 56410 KachelY + 1 43227 -0.43747215 0.90957728 -25.065308 52.114939
    Unten rechts KachelX + 1 56411 KachelY + 1 43227 -0.43742421 0.90957728 -25.062561 52.114939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90960671-0.90957728) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90960671-0.90957728) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43747215--0.43742421) × cos(0.90960671) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614056205940407 × 6371000     		do = 187.548571101035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43747215--0.43742421) × cos(0.90957728) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614079433663926 × 6371000     		du = 187.55566544568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90960671)-sin(0.90957728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614056205940407-0.614079433663926)×R²
    abs(-0.43742421--0.43747215)×2.3227723518926e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3227723518926e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3227723518926e-05×40589641000000     		ar = 35165.7464771441m²