Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56409 / 87356
↖ ↑ ↗
← S 51.282535°
W 25.068054°		 ← 191 m → S 51.282535°
W 25.065308°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
S 51.284252°
W 25.068054°		 ← 190.99 m →
36 480 m²		 S 51.284252°
W 25.065308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430370330810547 y=0.666477203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430370330810547 × 217)
    floor (0.430370330810547 × 131072)
    floor (56409.5)     		tx = 56409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666477203369141 × 217)
    floor (0.666477203369141 × 131072)
    floor (87356.5)     		ty = 87356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56409 / 87356 ti = "17/56409/87356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56409/87356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56409 ÷ 217
    56409 ÷ 131072     		x = 0.430366516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87356 ÷ 217
    87356 ÷ 131072     		y = 0.666473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430366516113281 × 2 - 1) × π
    -0.139266967773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43752008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.33294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04598314970963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43752008} λ = -0.43752008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04598314970963))-π/2
    2×atan(0.351346223582008)-π/2
    2×0.337873623918114-π/2
    0.675747247836229-1.57079632675     		φ = -0.89504908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43752008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.068054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89504908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.282535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56409 KachelY 87356 -0.43752008 -0.89504908 -25.068054 -51.282535
    Oben rechts KachelX + 1 56410 KachelY 87356 -0.43747215 -0.89504908 -25.065308 -51.282535
    Unten links KachelX 56409 KachelY + 1 87357 -0.43752008 -0.89507906 -25.068054 -51.284252
    Unten rechts KachelX + 1 56410 KachelY + 1 87357 -0.43747215 -0.89507906 -25.065308 -51.284252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89504908--0.89507906) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89504908--0.89507906) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43752008--0.43747215) × cos(-0.89504908) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625480522976018 × 6371000     		do = 190.998002221314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43752008--0.43747215) × cos(-0.89507906) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625457131106305 × 6371000     		du = 190.990859232493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89504908)-sin(-0.89507906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625480522976018-0.625457131106305)×R²
    abs(-0.43747215--0.43752008)×2.33918697126745e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33918697126745e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33918697126745e-05×40589641000000     		ar = 36480.4290371459m²