Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56409 / 87173
↖ ↑ ↗
← S 50.967076°
W 25.068054°		 ← 192.31 m → S 50.967076°
W 25.065308°		 →
↑
192.34 m
↓
↑
192.34 m
↓
S 50.968806°
W 25.068054°		 ← 192.30 m →
36 988 m²		 S 50.968806°
W 25.065308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430370330810547 y=0.665081024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430370330810547 × 217)
    floor (0.430370330810547 × 131072)
    floor (56409.5)     		tx = 56409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665081024169922 × 217)
    floor (0.665081024169922 × 131072)
    floor (87173.5)     		ty = 87173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56409 / 87173 ti = "17/56409/87173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56409/87173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56409 ÷ 217
    56409 ÷ 131072     		x = 0.430366516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87173 ÷ 217
    87173 ÷ 131072     		y = 0.665077209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430366516113281 × 2 - 1) × π
    -0.139266967773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43752008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665077209472656 × 2 - 1) × π
    -0.330154418945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.03721069707916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43752008} λ = -0.43752008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03721069707916))-π/2
    2×atan(0.354441950390818)-π/2
    2×0.340626519724506-π/2
    0.681253039449011-1.57079632675     		φ = -0.88954329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43752008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.068054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88954329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.967076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56409 KachelY 87173 -0.43752008 -0.88954329 -25.068054 -50.967076
    Oben rechts KachelX + 1 56410 KachelY 87173 -0.43747215 -0.88954329 -25.065308 -50.967076
    Unten links KachelX 56409 KachelY + 1 87174 -0.43752008 -0.88957348 -25.068054 -50.968806
    Unten rechts KachelX + 1 56410 KachelY + 1 87174 -0.43747215 -0.88957348 -25.065308 -50.968806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88954329--0.88957348) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dl = 192.340490000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88954329--0.88957348) × R
    3.0190000000041e-05 × 6371000     		dr = 192.340490000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43752008--0.43747215) × cos(-0.88954329) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629766857356527 × 6371000     		do = 192.306885989004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43752008--0.43747215) × cos(-0.88957348) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.629743405954303 × 6371000     		du = 192.299724821215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88954329)-sin(-0.88957348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629766857356527-0.629743405954303)×R²
    abs(-0.43747215--0.43752008)×2.34514022239285e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34514022239285e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34514022239285e-05×40589641000000     		ar = 36987.7119929476m²