Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56407 / 87358
↖ ↑ ↗
← S 51.285970°
W 25.073548°		 ← 191.02 m → S 51.285970°
W 25.070801°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
S 51.287688°
W 25.073548°		 ← 191.02 m →
36 485 m²		 S 51.287688°
W 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430355072021484 y=0.666492462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430355072021484 × 217)
    floor (0.430355072021484 × 131072)
    floor (56407.5)     		tx = 56407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666492462158203 × 217)
    floor (0.666492462158203 × 131072)
    floor (87358.5)     		ty = 87358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56407 / 87358 ti = "17/56407/87358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56407/87358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56407 ÷ 217
    56407 ÷ 131072     		x = 0.430351257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87358 ÷ 217
    87358 ÷ 131072     		y = 0.666488647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430351257324219 × 2 - 1) × π
    -0.139297485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43761596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666488647460938 × 2 - 1) × π
    -0.332977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04607902350887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43761596} λ = -0.43761596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04607902350887))-π/2
    2×atan(0.351312540299403)-π/2
    2×0.337843641442476-π/2
    0.675687282884952-1.57079632675     		φ = -0.89510904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43761596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.073548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89510904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.285970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56407 KachelY 87358 -0.43761596 -0.89510904 -25.073548 -51.285970
    Oben rechts KachelX + 1 56408 KachelY 87358 -0.43756802 -0.89510904 -25.070801 -51.285970
    Unten links KachelX 56407 KachelY + 1 87359 -0.43761596 -0.89513902 -25.073548 -51.287688
    Unten rechts KachelX + 1 56408 KachelY + 1 87359 -0.43756802 -0.89513902 -25.070801 -51.287688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89510904--0.89513902) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89510904--0.89513902) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43761596--0.43756802) × cos(-0.89510904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625433738674432 × 6371000     		do = 191.023562455701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43761596--0.43756802) × cos(-0.89513902) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625410345680418 × 6371000     		du = 191.016417633193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89510904)-sin(-0.89513902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625433738674432-0.625410345680418)×R²
    abs(-0.43756802--0.43761596)×2.33929940139932e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33929940139932e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33929940139932e-05×40589641000000     		ar = 36485.3109326715m²