Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56407 / 16343
↖ ↑ ↗
← N 79.192470°
W 25.073548°		 ← 57.27 m → N 79.192470°
W 25.070801°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.191956°
W 25.073548°		 ← 57.27 m →
3 277 m²		 N 79.191956°
W 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430355072021484 y=0.124691009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430355072021484 × 217)
    floor (0.430355072021484 × 131072)
    floor (56407.5)     		tx = 56407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124691009521484 × 217)
    floor (0.124691009521484 × 131072)
    floor (16343.5)     		ty = 16343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56407 / 16343 ti = "17/56407/16343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56407/16343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56407 ÷ 217
    56407 ÷ 131072     		x = 0.430351257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16343 ÷ 217
    16343 ÷ 131072     		y = 0.124687194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430351257324219 × 2 - 1) × π
    -0.139297485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43761596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124687194824219 × 2 - 1) × π
    0.750625610351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.35815990300942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43761596} λ = -0.43761596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35815990300942))-π/2
    2×atan(10.5714809937988)-π/2
    2×1.47648284038781-π/2
    2.95296568077562-1.57079632675     		φ = 1.38216935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43761596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.073548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38216935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.192470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56407 KachelY 16343 -0.43761596 1.38216935 -25.073548 79.192470
    Oben rechts KachelX + 1 56408 KachelY 16343 -0.43756802 1.38216935 -25.070801 79.192470
    Unten links KachelX 56407 KachelY + 1 16344 -0.43761596 1.38216037 -25.073548 79.191956
    Unten rechts KachelX + 1 56408 KachelY + 1 16344 -0.43756802 1.38216037 -25.070801 79.191956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38216935-1.38216037) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38216935-1.38216037) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43761596--0.43756802) × cos(1.38216935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.187510402780134 × 6371000     		do = 57.2705035268493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43761596--0.43756802) × cos(1.38216037) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.187519223490875 × 6371000     		du = 57.2731975989546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38216935)-sin(1.38216037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187510402780134-0.187519223490875)×R²
    abs(-0.43756802--0.43761596)×8.82071074057023e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.82071074057023e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.82071074057023e-06×40589641000000     		ar = 3276.61306034837m²