Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56403 / 87361
↖ ↑ ↗
← S 51.291123°
W 25.084533°		 ← 190.96 m → S 51.291123°
W 25.081787°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
S 51.292841°
W 25.084533°		 ← 190.96 m →
36 474 m²		 S 51.292841°
W 25.081787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430324554443359 y=0.666515350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430324554443359 × 217)
    floor (0.430324554443359 × 131072)
    floor (56403.5)     		tx = 56403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666515350341797 × 217)
    floor (0.666515350341797 × 131072)
    floor (87361.5)     		ty = 87361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56403 / 87361 ti = "17/56403/87361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56403/87361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56403 ÷ 217
    56403 ÷ 131072     		x = 0.430320739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87361 ÷ 217
    87361 ÷ 131072     		y = 0.666511535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430320739746094 × 2 - 1) × π
    -0.139358520507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43780770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666511535644531 × 2 - 1) × π
    -0.333023071289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.04622283420773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43780770} λ = -0.43780770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04622283420773))-π/2
    2×atan(0.351262021430128)-π/2
    2×0.337798671934343-π/2
    0.675597343868685-1.57079632675     		φ = -0.89519898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43780770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.084533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89519898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.291123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56403 KachelY 87361 -0.43780770 -0.89519898 -25.084533 -51.291123
    Oben rechts KachelX + 1 56404 KachelY 87361 -0.43775977 -0.89519898 -25.081787 -51.291123
    Unten links KachelX 56403 KachelY + 1 87362 -0.43780770 -0.89522896 -25.084533 -51.292841
    Unten rechts KachelX + 1 56404 KachelY + 1 87362 -0.43775977 -0.89522896 -25.081787 -51.292841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89519898--0.89522896) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89519898--0.89522896) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43780770--0.43775977) × cos(-0.89519898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625363558006053 × 6371000     		do = 190.962285560868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43780770--0.43775977) × cos(-0.89522896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625340163325745 × 6371000     		du = 190.955141713798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89519898)-sin(-0.89522896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625363558006053-0.625340163325745)×R²
    abs(-0.43775977--0.43780770)×2.33946803080975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33946803080975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33946803080975e-05×40589641000000     		ar = 36473.606980813m²