Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56402 / 13994
↖ ↑ ↗
← N 80.337653°
W 25.087280°		 ← 51.26 m → N 80.337653°
W 25.084533°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.337192°
W 25.087280°		 ← 51.27 m →
2 629 m²		 N 80.337192°
W 25.084533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430316925048828 y=0.106769561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430316925048828 × 217)
    floor (0.430316925048828 × 131072)
    floor (56402.5)     		tx = 56402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106769561767578 × 217)
    floor (0.106769561767578 × 131072)
    floor (13994.5)     		ty = 13994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56402 / 13994 ti = "17/56402/13994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56402/13994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56402 ÷ 217
    56402 ÷ 131072     		x = 0.430313110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13994 ÷ 217
    13994 ÷ 131072     		y = 0.106765747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430313110351562 × 2 - 1) × π
    -0.139373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43785564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106765747070312 × 2 - 1) × π
    0.786468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47076368021693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43785564} λ = -0.43785564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47076368021693))-π/2
    2×atan(11.8314788687702)-π/2
    2×1.48647644258184-π/2
    2.97295288516368-1.57079632675     		φ = 1.40215656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43785564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.087280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40215656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.337653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56402 KachelY 13994 -0.43785564 1.40215656 -25.087280 80.337653
    Oben rechts KachelX + 1 56403 KachelY 13994 -0.43780770 1.40215656 -25.084533 80.337653
    Unten links KachelX 56402 KachelY + 1 13995 -0.43785564 1.40214851 -25.087280 80.337192
    Unten rechts KachelX + 1 56403 KachelY + 1 13995 -0.43780770 1.40214851 -25.084533 80.337192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40215656-1.40214851) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dl = 51.2865500009443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40215656-1.40214851) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dr = 51.2865500009443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43785564--0.43780770) × cos(1.40215656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167841567840539 × 6371000     		do = 51.2631350604231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43785564--0.43780770) × cos(1.40214851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16784950363766 × 6371000     		du = 51.2655588571312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40215656)-sin(1.40214851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167841567840539-0.16784950363766)×R²
    abs(-0.43780770--0.43785564)×7.93579712096704e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.93579712096704e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.93579712096704e-06×40589641000000     		ar = 2629.17149360777m²