Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56400 / 43059
↖ ↑ ↗
← N 52.397391°
W 25.092773°		 ← 186.33 m → N 52.397391°
W 25.090027°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
N 52.395716°
W 25.092773°		 ← 186.33 m →
34 723 m²		 N 52.395716°
W 25.090027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430301666259766 y=0.328517913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430301666259766 × 217)
    floor (0.430301666259766 × 131072)
    floor (56400.5)     		tx = 56400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328517913818359 × 217)
    floor (0.328517913818359 × 131072)
    floor (43059.5)     		ty = 43059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56400 / 43059 ti = "17/56400/43059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56400/43059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56400 ÷ 217
    56400 ÷ 131072     		x = 0.4302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43059 ÷ 217
    43059 ÷ 131072     		y = 0.328514099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4302978515625 × 2 - 1) × π
    -0.139404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43795151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328514099121094 × 2 - 1) × π
    0.342971801757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.07747769276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43795151} λ = -0.43795151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07747769276))-π/2
    2×atan(2.93726152371925)-π/2
    2×1.24265166327261-π/2
    2.48530332654523-1.57079632675     		φ = 0.91450700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43795151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.092773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91450700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.397391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56400 KachelY 43059 -0.43795151 0.91450700 -25.092773 52.397391
    Oben rechts KachelX + 1 56401 KachelY 43059 -0.43790358 0.91450700 -25.090027 52.397391
    Unten links KachelX 56400 KachelY + 1 43060 -0.43795151 0.91447775 -25.092773 52.395716
    Unten rechts KachelX + 1 56401 KachelY + 1 43060 -0.43790358 0.91447775 -25.090027 52.395716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91450700-0.91447775) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dl = 186.351749999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91450700-0.91447775) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dr = 186.351749999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43795151--0.43790358) × cos(0.91450700) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.610181234667458 × 6371000     		do = 186.32618048586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43795151--0.43790358) × cos(0.91447775) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.610204408065948 × 6371000     		du = 186.333256761864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91450700)-sin(0.91447775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610181234667458-0.610204408065948)×R²
    abs(-0.43790358--0.43795151)×2.31733984892291e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31733984892291e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31733984892291e-05×40589641000000     		ar = 34722.8691450531m²