Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 564 / 611
↖ ↑ ↗
← S 32.842674°
E 18.281250°		 ← 32.844 km → S 32.842674°
E 18.632813°		 →
↑
32.789 km
↓
↑
32.789 km
↓
S 33.137551°
E 18.281250°		 ← 32.734 km →
1 075.11 km²		 S 33.137551°
E 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55126953125 y=0.59716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55126953125 × 210)
    floor (0.55126953125 × 1024)
    floor (564.5)     		tx = 564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59716796875 × 210)
    floor (0.59716796875 × 1024)
    floor (611.5)     		ty = 611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 564 / 611 ti = "10/564/611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/564/611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 564 ÷ 210
    564 ÷ 1024     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 611 ÷ 210
    611 ÷ 1024     		y = 0.5966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5966796875 × 2 - 1) × π
    -0.193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.607456391985352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607456391985352))-π/2
    2×atan(0.544734699915344)-π/2
    2×0.498791768386978-π/2
    0.997583536773957-1.57079632675     		φ = -0.57321279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57321279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.842674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 564 KachelY 611 0.31906800 -0.57321279 18.281250 -32.842674
    Oben rechts KachelX + 1 565 KachelY 611 0.32520393 -0.57321279 18.632813 -32.842674
    Unten links KachelX 564 KachelY + 1 612 0.31906800 -0.57835937 18.281250 -33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 565 KachelY + 1 612 0.32520393 -0.57835937 18.632813 -33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57321279--0.57835937) × R
    0.00514658000000001 × 6371000     		dl = 32788.8611800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57321279--0.57835937) × R
    0.00514658000000001 × 6371000     		dr = 32788.8611800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.32520393) × cos(-0.57321279) × R
    0.00613592999999996 × 0.840162908639566 × 6371000     		do = 32843.6568513716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.32520393) × cos(-0.57835937) × R
    0.00613592999999996 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 32734.1100796104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57321279)-sin(-0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840162908639566-0.837360628284139)×R²
    abs(0.32520393-0.31906800)×0.00280228035542629×R²
    0.00613592999999996×0.00280228035542629×6371000²
    0.00613592999999996×0.00280228035542629×40589641000000     		ar = 1075112521.26594m²